Oppgave fra R2-tentamen

[Arctagon]

En funksjon[tex]f[/tex]er bestemt ved

[tex]f(x) = (1-x)(x-a), \qquad a > 1[/tex]

a) Bestem skjæringspunktene mellom[tex]f[/tex]og førsteaksen.

Svar: Setter[tex]f(x) = 0[/tex]og løser med hensyn på [tex]x[/tex]. Får [tex]x = 1[/tex] eller [tex]x = a[/tex]. Skjæringspunktene med x-aksen er [tex](1,0)[/tex] og [tex](a,0)[/tex].
_________________________________________________

Grafen til[tex]f[/tex]og koordinataksene avgrenser et areal M i 4. kvadrant, se figuren. Grafen til[tex]f[/tex]og førsteaksen avgrenser arealet N i 1. kvadrant.



b) Bestem arealet av M uttrykt ved a.

Svar: Her skal jeg si nøyaktig hva jeg gjorde. Tanken var å først finne det ubestemte integralet til funksjonsuttrykket.

[tex]\int (1 - x)(x - a) \: \mathrm{d}x = \left(x - \frac{1}{2}x^{2} \right)(x - a) - \int x - \frac{1}{2}x^{2} \: \mathrm{d}x[/tex] (Jeg fikk beskjed om at dette steppet, dvs. etter likhetstegnet, var 'totalt unødvendig', men jeg ser ikke hvorfor. Noen som vet hva læreren kan ha ment?)
[tex]= x^{2} - ax - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{a}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{6}x^{3} = \underline{- \frac{4}{6}x^{3} + \frac{a + 1}{2}x^{2} - ax + C}[/tex]

[tex]\int_0^1 (1 - x)(a - x) \: \mathrm{d}x = \left[- \frac{4}{6}x^{3} + \frac{a + 1}{2}x^{2} - ax \right]_0^1 = - \frac{4}{6} + \frac{a + 1}{2} - a = \underline{\underline{\left|- \frac{a}{2} - \frac{1}{6} \right|}}[/tex]
På svaret hadde læreren satt en sirkel rundt minustegnet foran [tex]\frac{a}{2}[/tex] og satt et spørsmålstegn ved det. Jeg fikk også R- på oppgaven. Hva gjorde jeg feil?
_________________________________________________

c) Bestem verdien av a slik at arealet av M og arealet av N er like store.

Svar: Her var idéen min å først finne arealet til N uttrykt ved a, og så sette M og N lik hverandre og løse likningen med hensyn på a. Vil denne fremgangsmetoden føre fram? Jeg kom fram til feil svar, og det var jeg veldig sikker på da jeg kom fram til det, men det er jo bedre å svare enn å ikke gjøre det.

[tex]\int_1^a (1 - x)(x - a) \: \mathrm{d}x = \left[- \frac{4}{6}x^{3} + \frac{a + 1}{2}x^{2} - ax \right]_1^a = \left(- \frac{4a^{3}}{6} + \frac{a^{2}(a + 1)}{2} - a^{2} \right) - \left(- \frac{4}{6} + \frac{a + 1}{2} - a \right) = - \frac{4a^{3}}{6} + \frac{a^{2}(a + 1)}{2} - a^{2} + \frac{4}{6} - \frac{a + 1}{2} + a = \underline{a^{3} + a}[/tex] Fikk feil på denne.

[tex]M = N[/tex]

[tex]\frac{a}{2} + \frac{1}{6} = a^{3} + a[/tex]

[tex]\frac{1}{6} = a^{3} + a - \frac{a}{2}[/tex]

[tex]\frac{2}{6} = 2a^{3} + 2a - a[/tex]

[tex]\frac{2}{6} = 2a^{3} - a[/tex] (Jeg ser jeg har slurvet med fortegn her. Ikke at å unngå det ville gjort at jeg hadde fått riktig svar.)

[tex]2a^{3} - a - \frac{2}{6} = 0[/tex]

[tex]a = 0.836[/tex] eller [tex]a = -0.418 \pm 0.156i[/tex]

[tex]\underline{\underline{a = 0.836}}[/tex]

Svar på spørsmålene utover denne posten og hjelp med å løse den siste deloppgaven vil bli satt stor pris på. Jeg tar også gjerne imot tips til alternative metoder som kan brukes.

[svinepels]

Angående b), så ser det ut som du har gjort en delvis integrasjon for å integrere funksjonen, noe som læreren din har rett i at er noe unødvendig. Det er lettere å bare gange ut parentesene og integrere hvert ledd hver for seg.

Grunnen til at læreren satte spørsmålstegn er fordi du ble bedt om å finne et areal, men har oppgitt et negativt tall. Arealet skal være et ikke-negativt tall, så her har du nok glemt å ta absoluttverdi. Ser du har skrevet absoluttverditegn rundt det siste uttrykket, men du kunne faktorisert ut minusfortegnet og deretter strøket det:

[tex]\left| -\frac{a}{2} -\frac{1}{6} \right| = \left| (-1) \left( \frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right) \right| = |-1|\left| \frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| = \left| \frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| = \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex]

Her utnyttet jeg at a>1.

[Arctagon]

Ah, det er sant.

Så jeg bør heller gå et steg videre og fjerne absoluttverditegnet før jeg setter to streker under svaret? For jeg hadde jo absoluttverditegn rundt svaret, og det er jo ekvivalent med uttrykket du fikk ved å fjerne tegnet. Det som var litt forvirrende, var at læreren satt en sirkel kun rundt minusfortegnet foran det ene leddet.

Jeg har forresten aldri sett metoden du brukte for å fjerne absoluttverditegnet. Det eneste jeg har lært er at verdien innenfor et absoluttverditegn er uten fortegn. Tror du at du kan forklare meg fremgangsmetoden og tankene bak den? Jeg ser heller ikke sammenhengen helt med det du sa om at du utnyttet at a>1 og metoden du brukte.

[2357]

Strengt tatt er det ikke riktig av deg å slenge på absoluttverditegn i kun den siste likheten i b).

Egentlig skal man bruke trekantulikheten [tex] \left|\frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| \le \left|\frac{a}{2}\right| + \left|\frac{1}{6}\right| \overset{a > 0}{=} \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex], men siden begge leddene i det første uttrykket er positive, vet man at det gjelder likhet i den første overgangen. Altså [tex] \left|\frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| = \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex].

[Nebuchadnezzar]

2357, trekantulikheten er vel pittelitt overkill her?

[tex]\left| \frac{a}{2} + \frac{1}{6}\right| \, = \, \frac{1}{6}\left| 3a + 1\right|[/tex]

Siste del er åpenbart positiv da [tex]a>1[/tex], dog kunne [tex]a[/tex] vært så liten som [tex]-1/3[/tex] fraktisk.

Lar de andre svare for seg selv jeg, men ja. Anbefaler deg å bruke mer programvare på del 2. Det gjør deg litt dummere, men det gjør også at du kan mye lettere sjekke over dine egne svar, og også løse oppgaver. Ofte løser jeg problemer i geogebra, og maple for så å løse de for hånd. Er lettere når en har en fasit å gå ut ifra.

[Arctagon]

Strengt tatt er det ikke riktig av deg å slenge på absoluttverditegn i kun den siste likheten i b).

Egentlig skal man bruke trekantulikheten [tex] \left|\frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| \le \left|\frac{a}{2}\right| + \left|\frac{1}{6}\right| \overset{a > 0}{=} \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex], men siden begge leddene i det første uttrykket er positive, vet man at det gjelder likhet i den første overgangen. Altså [tex] \left|\frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| = \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex].

Det der har jeg aldri vært borte i før, så det er nok en annen metode det er meningen at vi skal bruke.

Lar de andre svare for seg selv jeg, men ja. Anbefaler deg å bruke mer programvare på del 2. Det gjør deg litt dummere, men det gjør også at du kan mye lettere sjekke over dine egne svar, og også løse oppgaver. Ofte løser jeg problemer i geogebra, og maple for så å løse de for hånd. Er lettere når en har en fasit å gå ut ifra.

Det høres ut som en god metode, men det spørs om jeg får tid til det. Jeg har generelt sett ganske dårlig tid som det er.


Kunne jeg heller fått et konkret svar på hvordan jeg skulle gjort det i oppgave b? Eventuelt om jeg burde forandret på fremgangsmetoden?

[2357]

2357, trekantulikheten er vel pittelitt overkill her?

Ja.

[tex]\left| \frac{a}{2} + \frac{1}{6}\right| \, = \, \frac{1}{6}\left| 3a + 1\right|[/tex]

Siste del er åpenbart positiv da [tex]a>1[/tex], dog kunne [tex]a[/tex] vært så liten som [tex]-1/3[/tex] fraktisk.

Faktoriseringen bidrar ikke med noe her. Oppgaven er ikke å avgjøre at [tex]\frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex] er positivt, men å etablere likheten [tex] \left| \frac{a}{2} + \frac{1}{6} \right| = \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex].

Det der har jeg aldri vært borte i før, så det er nok en annen metode det er meningen at vi skal bruke.

Alt du trenger å tenke på, er at når to tall har samme fortegn, vil absoluttverdien av summen være lik summen av absoluttverdiene. Lag en tegning om for å overbevise deg selv, om du ikke synes det er intuitivt riktig.

[Arctagon]

Alt du trenger å tenke på, er at når to tall har samme fortegn, vil absoluttverdien av summen være lik summen av absoluttverdiene. Lag en tegning om for å overbevise deg selv, om du ikke synes det er intuitivt riktig.

Det høres riktig ut. Det jeg har lært er at absoluttverdi av en verdi, er verdien uten fortegn.

Er det dette du tenker på?
[tex]\left|-\frac{a}{2} - \frac{1}{6} \right| = \left|-\frac{a}{2} \right| + \left|-\frac{1}{6} \right| = \frac{a}{2} + \frac{1}{6}[/tex].

[Arctagon]

b)
[tex]\mathrm{M} = \int_0^1 -(x - a - x^2 + ax) \, \mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{2}x^2 + ax + \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1 = \left(-\frac{1}{2} + a + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} \right) - 0 = \underline{\underline{\frac{a}{2} - \frac{1}{6}}}[/tex]

c)
[tex]\mathrm{N} = \int_1^a (x - a - x^2 + ax) \, \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}x^2 - ax - \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_1^a = \left(\frac{1}{2}a^2 - a^2 - \frac{1}{3}a^3 + \frac{a^3}{2} \right) - \left(\frac{1}{2} - a - \frac{1}{3} + \frac{a}{2} \right) = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{6} - \frac{1}{2} + a + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} = \underline{\frac{a^3}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} - \frac{1}{6}}[/tex]


[tex]\mathrm{M} = \mathrm{N}[/tex]

[tex]\frac{a}{2} - \frac{1}{6} = \frac{a^3}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} - \frac{1}{6}[/tex]

[tex]\frac{a^3}{6} - \frac{a^2}{2} = 0[/tex]

[tex]a = 0 \qquad \vee \qquad a = 3[/tex]

[tex]a = 3[/tex] er det eneste som oppfyller [tex]a > 1[/tex].

[tex]\underline{\underline{a = 3}}[/tex]

Uansett hvordan jeg faktoriserer nå, får jeg at [tex]a = 0 \qquad \vee \qquad a = 3[/tex]. Det jeg dog lurer på er hvilken rute som hadde vært optimalt generelt. Plotte det inn i kalkulatoren som en tredjegradslikning, vil jeg ikke si er optimalt. Å faktorisere ut en [tex]a[/tex] tror jeg hadde vært bedre. Da hadde jeg sittet igjen med et andregradsuttrykk inni parentesen. Jeg vet ikke om det hadde vært så lurt å faktorisere ut to stykker [tex]a[/tex]. Er det ikke slik at jeg kanskje hadde mistet en løsning ved å ta roten av [tex]a^2[/tex] som er faktorisert ut og [tex]0[/tex]?

[Arctagon]

Innspill?

[Vektormannen]

Du mister ingen løsninger om du faktoriserer og benytter produktsetningen (et produkt er 0 når en av faktorene er 0.) Du kan derimot minste løsninger hvis du deler på uttrykk som involverer den ukjente.

(Var det dette du lurte på? )

edit: og jeg vil si at slik du gjøre det er ganske optimalt. Å dra fram kalkulatoren er selvfølgelig helt unødvendig.

[Arctagon]

Det var akkurat det jeg lurte på. Det er gjerne produktsetningen jeg vil bruke, for da ser en jo løsningene med én gang. Jeg mente å huske at å dele på uttrykk som involverer den ukjente kunne fjerne løsninger, men jeg ble usikker på om noe liknende kunne skje i dette tilfellet.

Takker så meget for svar!