En vektor som lineærkombinasjon av andre vektorer

[Aleks855]

En oppgave lyder:

Gitt vektorene [tex]a_1=[2 \ 1 \ 3]^T, \ a_2 = [1 \ -1 \ 2]^T, \ a_3 = [0 \ 1 \ 2]^T[/tex]

Beregn [tex]\vec b[/tex] når [tex]\vec b = 3a_1 - 2a_2 + a_3[/tex] . Undersøk om det finnes andre lineærkombinasjoner av [tex]a_1, \ a_2, \ a_3[/tex] som blir lik [tex]\vec b[/tex].

Jeg har kommet så langt som å vise at [tex]\vec b = [4 \ 6 \ 7]^T[/tex] men står fast på å undersøke om det finnes andre lineærkombinasjoner. Svaret er at det ikke finnes flere, men hvordan kan jeg vise det?

På forhånd takk!

[Vektormannen]

Alle lineærkombinasjoner er på formen [tex]k_1 \vec{a}_1 + k_2 \vec{a}_2 + k_3 \vec{a}_3[/tex], ikke sant? Du er ute etter de koeffisientene som gjør at [tex]k_1 \vec{a}_1 + k_2 \vec{a}_2 + k_3 \vec{a}_3 = \vec{b}[/tex]. Dette er et ligningssystem med tre ukjente (koeffisientene). Antall løsninger vil være svar på spørsmålet ditt, ikke sant?

[Aleks855]

Ah, ok.

Det jeg gjorde i første del var å sette opp koeffisientene på a-vektorene som en egen vektor.

Nå skal jeg altså bytte ut den vektoren med en arbitrær [tex][k_1 \ k_2 \ k_3]^T[/tex]?

Ser forøvrig at det gir et likningssystem uten løsninger ja!

EDIT: Ser forøvrig også hvorfor det kalles lineærkombinasjon nå. Takker, VM! =)

[Vektormannen]

Ja, når du setter opp at [tex]k_1 \vec{a}_1 + k_2 \vec{a}_2 + k_3 \vec{a}_3 = \vec{b}[/tex] så får du jo etter litt sammentrekning:

[tex]\left(\begin{array}{c} 2k_1 + k_2 \\ k_1 - k_2 + k_3 \\ 3k_1 + 2k_2 + 2k_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)[/tex]

Dette er da et nytt system med tre ligninger og tre ukjente, som du sikkert har sett. Men det er ikke uten løsninger -- [tex](k_1, k_2, k_3) = (3, -2, 1)[/tex] må jo opplagt være en løsning, for det er jo nettopp disse koeffisientene som definerer [tex]\vec{b}[/tex] Men systemet har ikke flere enn denne ene (var kanskje det du mente?)

[Aleks855]

Ah ballz! Der var jeg litt kjapt ute ja.

Men ok, så siden systemet er bestemt, og kun gir den løsningen jeg hadde fra før, så finnes det naturligvis ingen flere løsninger.

Hadde systemet derimot vært ubestemt (fri variabel), så ville det vel vært grunnlag for å si at det har uendelig mange løsninger?

[Vektormannen]

Akkurat. Da ville jo alle valg av den frie variabelen gitt nye løsninger av systemet, og altså da nye lineærkombinasjoner som gir [tex]\vec{b}[/tex].

[Aleks855]

Hmm. Jeg kjører gjennom hele prosessen, og jeg tror jeg gjør feil et sted, men jeg finner ikke feilen.

http://imgur.com/TEQoh

Det er vel meningen at [tex]c_1[/tex] skal bli 4?

[Vektormannen]

Jeg ser ikke noe feil her (men er det ikke lettere å Gauss-eliminere i stedet for å bruke innsettingsmetoden?)

[tex]c_1[/tex] er jo nødt til å bli 3. [tex]\vec{b}[/tex] er jo definert til å være [tex]\vec{b} = 3 \cdot \vec{a}_1 - 2 \cdot \vec{a}_2 + 1 \cdot \vec{a}_3[/tex]. [tex]c_1[/tex] er koeffisienten til [tex]\vec{a}_1[/tex] i lineærkombinasjonen, og den er jo 3 i definisjonen av [tex]\vec{b}[/tex], ikke sant?

[Aleks855]

Ja, nå surra jeg igjen. Brukte feil vektor som referanse =/

Innsettingsmetoden var bare "for å spare tid", men det gikk jo uansett litt i dass.

Tror jeg bare burde legge fra meg denne oppgaven før jeg ødelegger det jeg faktisk forsto

[FredrikM]

Prinsippet er egentlig ganske enkelt.

Det du har er/koker ned til, en matriselikning Ax=b.

Denne har en *unik* løsning om A er ikke-singulær, det vil si at determinanten er ulik null. (evt. at kolonnerommet er tredimensjonalt, eller at kjernen er null)

Du vet at b ligger i bildet til A, så det finnes minst èn løsning. Om kolonnerommet er todimensjonalt, vil det finnes uendelig mange løsninger, siden du har tre vektorer, alle pakket inn i to dimensjoner.