Transitivitet i Galois-gruppen.

[wingeer]

Hei, leser nå til eksamen og holder på med applikasjoner av Galois-teori.
Har et teorem i boken som sier at:
"Let f(x) be a polynomial over a field F with no multiple roots. Then f(x) is irreducible over F if and only if the Galois group G of f(x) is isomorphic to a transitive permutation group."

Men vil ikke enhver automorfi i Galois-gruppen virke transitivt på røttene til f(x)? Tidligere har det blitt bevist at hvis et polynom har r distinkte røtter i rotkroppen (splitting field) sin så kan Galois-gruppen embeddes i symmetrigruppen med r elementer.
Det er vel transitiviteten jeg spør om her. Finnes det Galois-grupper som ikke er isomorfiske med en transitiv permutasjonsgruppe?