Lenketråden - oppgaver på rekke

[Nebuchadnezzar]

Fikk inspirasjon for å starte denne tråden fra et annet forum.
Reglene er enkle

1. Svar på forrige oppgave i tråden og legg ut ny. (Oppgaven kan være hva so helst, men bør selvsagt være matteinspirert)

2. Er det gått mer enn 48 timer siden siste oppgave ble lagt ut
kan du legge ut ny oppgave, uten å løse forrige.

Prøv og hold nivået på et anstendig nivå :p

Oppgave 1

La trekant $T$ være en likesidet trekant. Bestem forholdet $A_R/A_r$. Der $A_r$ betegner den innskrevne sirkelen til trekanten, og $A_R$ betegner den omskrevne sirkelen til trekanten. .

[Gustav]

Hva menes med "anstendig nivå"? Ikke for lavt?

[Nebuchadnezzar]

Anstendig betyr i mine øyne noe som ikke er hårreisende lett. (Ungdomskole nivå) men heller ikke grusomt vanskelig (øvre universitetsnivå)

VGS til bachelor nivå ( 3 første årene) vil jeg si er passelig. Og oppgaven jeg la ut er da selvfølgelig i det lavere sjiktet.

[espen180]

Ved å trekke linjer mellom midtpunktene til hver side i trekanten deler vi den inn i 4 like store likesidede trekanter, som altså er 1/4 så store som den opprinnelige. Den innskrevne sirkelen til den store trekanten er da den omskrevne til den lille i sentrum, siden disse has samme sentrum og radius. Forholdet mellom sirklene er dermed likt forholdet mellom trekantene ved symmetri. Dette forholdet er 4.


Neste oppgave:

La $A$ og $B$ være komplekse $n\times n$ matriser slik at

1) $B^{†}=B$
2) $B^2=I$
3) $A^{†}=BAB$
4) $AB+BA=ABA$
der $A^{†}$ er den hermiteske konjugerte til $A$.

Vis at $A{A}^{†}=A^{†}A$.

[Gustav]

$A=A$
$AI=IA$
$A{B}^2=B^{2}A$
$A{B}^2+BAB=BAB+B^{2}A$
$$\begin{gathered} (AB+BA)B=B(AB+BA) \\ (ABA)B=B(ABA) \\ A(BAB)=(BAB)A \\ A{A}^{†}=A^{†}A \end{gathered}$$

Neste:

Bestem alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(x)$ er strengt voksende, og $f(x)+g(x)=2x$ for alle reelle x, der $g(x)=f^{-1}(x)$ (altså at $f(g(x))=g(f(x))=x$ for alle reelle $x$.)

[Per Spelemann]

Muligens jeg overkompliserer til tider, men her kommer løsningsforslag og ny oppgave.

Løsningsforslag
Konstaterer først at $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ er bijeksjoner. Siden funksjonene i tillegg er strengt stigende, så må de være kontinuerlige. I motsatt fall ville det blitt hull i verdimengden.

Det er lett å sjekke at $f(x)=x+a$ tilfredsstiller de gitte betingelser. Vi har nemlig $g(x)=x-a$. Vi skal se at det ikke finnes flere løsninger.

La $f(x_0)=x_0+a_0$. Da blir:

$f(x_0+a_0)=2(x_0+a_0)-g(x_0+a_0)=$
$2(x_0+a_0)-g(f(x_0))=2(x_0+a_0)-x_0=$
$(x_0+a_0)+a_0$

Ved induksjon blir

$f(x_0+n{a}_0)=(x_0+n{a}_0)+a_0$

for $n=0,1,2,\dots$

Anta nå at det finnes en $f$ foruten de allerede nevnte. Da vil det finnes $x_1$ og $x_2$ slik at

$f(x_1+n{a}_1)=(x_1+n{a}_1)+a_1$

$f(x_2+n{a}_2)=(x_2+n{a}_2)+a_2$

for $n=0,1,2,\dots$

hvor $a_1/a_2$ er et positivt irrasjonalt tall.

Anta dessuten for enkelhets skyld at $0<a_1<a_2$. (Helt tilsvarende for andre tilfeller).

Pga. det irrasjonale forholdet, så vil det nå finnes positive heltall $n_1$ og $n_2$ slik at

$x_1+n_1{a}_1>x_2+n_2{a}_2$

og

$x_1+n_1{a}_1-(x_2+n_2{a}_2)<a_2-a_1$

Men da blir

$f(x_2+n_2{a}_2)=x_2+n_2{a}_2+a_2>$
$x_1+n_1{a}_1+a_1=f(x_1+a_1{n}_1)$

Dette motsier at $f$ er en stigende funksjon.

Oppgave 4
Ta utgangspunkt i to like rektangler av papir. Legg dem nøyaktig oppå hverandre. Finn ei saks og klipp rektanglene i biter. Sett alle bitene sammen til ett rektangel som er formlikt de opprinnelige rektanglene.

Hvordan lar dette seg gjøre?