Finn topp- og bunnpunkt

[Nissen]

Sitter nok en gang fast.

Jeg skal finne topp og bunnpunkt i en funksjon, ved regning:

f(x)=3cos(0,5x)-0,5x

Første oppgaven er å regne ut f'(5) og f''(5), som ikke var et problem. Nå skal jeg finne topp og bunnpunkt, men får det ikke til. Oppgaven virker rett frem, så jeg skjønner ikke hvorfor jeg får feil svar.

Jeg kom frem til at den deriverte av funksjonen over er -1,5sin(0,5x)-0,5, noe jeg antar er rett, med tanke på at jeg fikk rett svar i forrige oppgave.

Er det mulig å finne topp og bunnpunkt i en cosinus-funksjon, eller må det være en sinus-funksjon?

[Nebuchadnezzar]

Her glemmer du nok noe vesentlig, nemlig intervallet du ser på.

Om du tegner funksjonen din ser du at den svinger opp ned jevnt ikke sant? Dette er fordi sinus og cosinus er harmoniske funksjoner.
Dette fører til at funksjonene har uendelig mange topp og bunnpunkter, det er derfor det er viktig å spesifisere et området eller domene.

Kort sagt så er løsningene til en cosinusfunksjon gitt som

[tex]\large \cos x = p \, \Leftrightarrow \, x = \left{ \begin{array}{r} & 2\pi n \, - \, \arccos(p) \\ & 2 \pi n \, +\, \arccos(p) \end{array} \right.[/tex]

[Nissen]

Beklager det. Intervallet er [0, 4[symbol:pi]]

[Nebuchadnezzar]

For sinus har du noe liknende

[tex]\sin(x) = p \ \Leftright x = \left{ \begin{array}{cc} \pi - & \arcsin(p) + 2\pi n \\ & \arcsin(p) + 2\pi n \end{array} \right.[/tex]

Altså

[tex]-\frac{3}{2} \sin( \frac{1}{2} x ) = \frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \, -\sin( \frac{1}{2} x ) = \frac{1}{3}[/tex]

Utifra formelen ovenfor får vi at

[tex]-\frac{1}{2} x = \arcsin(1/3) + 2 \pi n + \pi[/tex] eller [tex] \ -\frac{1}{2} x = \arcsin(1/3) + 2 \pi n[/tex]

Herfra er det bare løse for [tex]x[/tex], siden vi går to ganger rundt enhetssirkelen så får vi [tex]4[/tex] løsninger. [tex]2\pi[/tex] er en runde.

Dermed må du bare legge til en passelig antall [tex]n[/tex], slik at du får fire [tex]x[/tex]-verdier som er slik at [tex]x \in [0, 4\pi][/tex]

[Nissen]

Nå var det strengt tatt ikke meningen å løse funksjonen, men å finne topp- og bunnpunkt.
Om ikke jeg tar feil, er det meningen å sette inn sinx = 1, for å finne toppunkt, men jeg er ikke fullstendig klar over hvordan dette henger sammen når man deriverer, eller når originalfunksjonen er cos.

[Nebuchadnezzar]

Dersom du har en funksjon [tex]f(x)[/tex], og ønsker å finne topp og bunnpunkter til denne. Så løser du likningen

[tex]f^\prime(x) = 0 [/tex]

Her her [tex]f(x)[/tex] funksjonen din =)

Videre så må du tenke deg hvorfor det fungerer å løse likningen

[tex]\sin x = 1[/tex] for å finne toppunktene? Jo fordi [tex]-1 \leq \ sin x \leq 1[/tex]. Men dette fungerer som sagt ikke alltid. Hva om du har eksempelvis

[tex]2 \sin x[/tex] så er ikke toppunktet til denne lik 1. Og dermed vil du heller ikke finne toppunktene til denne funksjonen ved å løse likingen

[tex]2 \sin x = 1[/tex]

Videre, om funksjonen din hadde vært for eksempel.

[tex]f(x) \, = \, 3cos(0,5x)[/tex]

Så hadde topp og bunn verdiene vært relativt enkle å finne.
Den maksimale verdien cosinus kan ha er [tex]1[/tex]. Slik at den største verdien [tex]f(x)[/tex] kan har er [tex]3[/tex]. Den minste verdien [tex]f(x)[/tex] kan ha er [tex]-1[/tex]. Siden den minste verdien cosinus kan ha er [tex]-1[/tex]. Dog er dette ikke en metode du kan bruke på oppgaven din! Du har en [tex]-0.5x[/tex] som ødelegger for deg, og derfor må du skitne til hendene dine med "horribel" derivasjon og løse likninger.

Løser du likningen jeg satt opp og putter inn verdiene i funksjonen din, får du toppunktene dine og bunnpunktene dine. Tegn, Tegn Tegn, så ser du hvorfor likningene fungerer.

[Nissen]

Hvor mye jeg enn har lyst til å ta meg tid til å forstå alt jeg jobber med, er det komplett umulig. Jeg holder på å gå gjennom R1 og R2 på ca to og en halv måned, og har eksamen om litt over en uke. Før dette, har jeg ikke tatt i en mattebok på sikkert 8-9 år.

Jeg må bare komme meg gjennom det i tide, og jobber 10-12 timer hver dag. Har ikke tid til å virkelig sette meg inn i stoffet.

Når det er sagt, forstår jeg mye av det jeg jobber med, men det er visse sammenhenger jeg ikke tar.

Grunnen til at jeg sliter her, er fordi utregningene ikke blir riktig i forhold til fasit.

Regner jeg ut den deriverte, blir svaret x = 0,679. I fasiten skal x være 0. Boken har heller ingen eksempler på hvordan dette gjøres.

[Nebuchadnezzar]

En rask og skitten løsning blir noe alla det under

har selv eksamen i morgen, og vi må gjennom et par tusen sider på et halvt år :p

Uansett -0.5x er synkende når x>0 ikke sant? og cosinus er synkende like ett null. Dermed er x=0 et toppunkt. Videre så vil -x dominere cosinusleddet.

som sagt tegn funksjonen din, og regn over en gang til. Helst i morgen =p
Kan vise deg utregning i morgen, men du får null ved å sette inn i formelen jeg gav over og. Selv om en bare kan se det utfra funksjonsuttrykket / graf :p

[Nissen]

Jeg er tydeligvis en idiot, for jeg får det ikke til å stemme.
Det andre problemet er at dette ikke står noen steder i boken.

Å sette f'(x) = 0 var vel det samme jeg gjorde i R1 for å finne toppunkt, ettersom farten da er 0, som betyr at kurven snur. Men problemet er igjen at utregningene mine ikke er riktige.

[Nebuchadnezzar]

Det var litt seint i går må jeg innrømme, og hadde hodet fullt av helt andre ting enn matematikk. Men skal prøve å svare deg nå.

Du sier at du ikke har tid til å lese alt veldig grundig, men da har jeg bare et tips til deg. TEGN TEGN TEGN. Det som antakeligvis er enklest er å fyre opp enten en kalkulator eller et program for å tegne funksjoner og ting.

Da ser en øyeblikkelig om en har regnet feil som er gull verdt på eksamen. Selv har jeg regnet gjennom R2 eksamen på litt over en time, når en får bruke alle hjelpemidler. Kraftig programmvare på datamaskin hjelper enormt.

Kort sagt, når en skal finne topp og bunnpunkter er det to ting vi må huske på.
1. Vi må sjekke når den deriverte er lik null [tex]f^\prime(x) = 0[/tex].
2. Er området vi ser på begrenset (Vi ser på et gitt området) må vi også sjekke endepunktene eller randen av definisjonsområdet.

Disse to tilfellene dekker alle topp og bunnpunkter en funksjon kan ha.

På din funksjon får vi at den synker hele tiden (på grunn av x-leddet.)
så den kan bare ha saddelpunkter inne i funksjonen. Dermed må eventuelle topp og bunnpunkter til en slik funksjon befinne seg på randen av definisjonsområdet. (Slutten og begynnelsen)

[tex](0,f(0))[/tex] er et globalt toppunkt
[tex](4\pi,f(4\pi))[/tex] er et globalt bunnpunkt
[tex](9.42,f(9.42)[/tex] er et saddelpunkt bunnpunkt.

Forskjellen på lokale og globale er bare for å skille de største og minste ekstremalpunktene fra de andre. Globale er de største, mens de lokale er resten. Moralen er kanskje, å ikke gjøre matte sent på kvelden. Og å lese gjennom oppgaven grundig + tegning.

Hvordan en finner ut hva som er topp og bunn, og hva som er størst og minst kan en gjøre utifra fint fortegnsskjema + fin tegning.

[2357]

Code: Select all

[tex]\sin(x) = p \ \Leftright x = \left{ \begin{array}{cc} \pi - & \arcsin(p) + 2\pi n \\ & \arcsin(p) + 2\pi n \end{array} \right.[/tex]

Det er morsomt hvor mange ganger den overflødige biten "\right." på slutten går igjen etter at Diskusjon.no-innføringen skrev den opp.

[Nebuchadnezzar]

Blir like irritert hver gang jeg må bruke den.. Ønsker å bruke

Code: Select all

\begin{cases} \end{cases}

men blir tvunget til å bruke array.

I "vanlig" latex må det være like mange åpne som lukkede tagger, og er derfor jeg benytter meg av det =)v Mathjax suger..

[Nissen]

Selv om jeg ser nytten av å tegne grafen, skal jeg her regne meg frem til topp og bunnpunkter. Det andre problemet jeg har, er at GeoGebra nekter å godta funksjonen.

Jeg ser fremdeles ikke helt hvor jeg får den første nullen fra gjennom regning. Jeg får det ikke til å stemme med formelen.

Setter uansett stor pris på hjelpen.

Edit: Ser forresten at svarene dine ikke stemmer helt med fasit.
De skal være (0 , 3) og (11,9 , 3,11) for toppunkt, og (6,96 , -6,31) for bunnpunkt.

Bunnpunktet ditt ser også ut til å være vendepunktet (9,4 , -4,7)