Derivasjon - Brøkregelen

[Mat1000]

Hei! Skal ha eksamen snart, og går gjennom gamle eksamensoppgaver.

Det er en oppgave jeg ikke får til helt, selvom jeg har løsningsforslaget.

Skal derivere : sin2x \ cosx

her har jeg derivert sin2x ved bruk av kjerneregelen og fått svaret 2cos2x

cosx derivert blir -sinx

setter inn i brøkregelen for derivasjon og får

2cosx * cosx - sin2x * cos x \ (cosx)^2


Svaret fra løsningsforslaget sier at det blir 2sinx
skjønner ikke dette.. er det noen som kan hjelpe?

Takk!

[Nebuchadnezzar]

Det aller enkleste er å huske på at [tex]\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x)[/tex], bruker du dette faller fasitsvaret rett ut.

Alternativt så kan du forenkle utrykket ditt.

Du gjør og litt feil når du deriverer, eller i det minste det du skriver her inne. Utfører du derivasjonen dirkete får får du

[tex]\Large \frac{\,2\cos (x) \cos(2x) \,+\, \sin(2x) \sin(x)\,}{\cos(x)^2}[/tex]

Som er vanskelig å forenkle uten å bruke sammenhengen over. (Den er forrøvrig mye brukt, og bør skrives bak øret)

[Mat1000]

Ser at du blant annet ikke brukte kjerneregelen for å derivere sin2x, men deriverte den direkte til cos2x. Var under inntrykket at alltid skal bruke kjerneregelen, men forstår jeg det riktig så trengs ikke kjerneregelen hvis ikke 2x er oppgitt i parentes. Videre ser det ganskje så greit ut.
Men skjønner ikke at sin2x= 2sinx * cos x.
Kunne du gi en nærmere forklaring på det? Eneste jeg kan se er at den er helt likt definisjonen til sin2x når det er dobbel vinkel.
Skal denne settes som u og deriveres for hele uttrykket?
altså (2sinx*cosx)` ?

[Nebuchadnezzar]

[tex]sin(2x)[/tex] og [tex]\sin 2x[/tex] betyr det samme, men jeg liker knapt den første bedre.
Slurvet litt da jeg deriverte nå og, fikset det opp. Kan du addisjonsformelene for sinus og cosinus?

[tex]\cos(a + b) \,=\, \cos(a)\cos(b) \,-\, \sin(a)\sin(b)[/tex]

[tex]\sin(a + b) \,=\, \sin(a)\cos(b) \,+\, \cos(a)\sin(b) [/tex]

I såfall klarer du å se hvordan du kan bruke den nederste for å finne et uttrykk for [tex]\sin(2x)[/tex]?

[Mat1000]

nei, de er jeg ikke kjent med. Har kun lært kjerneregelen.
Er kjerneregelen ikke riktig brukt når jeg deriver sin 2x til 2cos2x?

[Nebuchadnezzar]

Jo, jeg sa jo at jeg gjorde en feil når jeg deriverte. Men er nå fikset. Videre så bør du nok bare godta sum formlene for sinus og cosinus, de er gull verdt.

Om [tex]f(x) = \sin(2x)[/tex] så er [tex]f^\prime(x) = 2 \cos(2x)[/tex]

Skal slenge opp et bevis snart, men som sagt siden eksamen banker på døren bør du bare godta disse identitetene =)

EDIT: Vi tar utgangspunkt i følgende figur.



Da har vi at [tex]\begin{array}{l l} \sin( \alpha + \beta ) & \, = \, \frac{BC}{AC} \, = \, \frac{BF + FC}{AC}\\ & \, = \, \frac{BF}{AC} \,+\, \frac{FC}{AC} \\ & \, = \, \frac{DE}{AC} \,+\, \frac{FC}{AC} \\ & = \frac{DE}{AE} \cdot \frac{AE}{AC} \, + \, \frac{FC}{CE} \cdot \frac{CE}{AC} \\ & \, = \, \sin(\beta) \cos(\alpha) \,+ \, \cos(\beta) \sin(\alpha) \end{array}[/tex]

Som var det vi ønsket å vise.

[Arctagon]

Kult bevis, men [tex]\frac{FC}{CE}[/tex] er [tex]\cos(\beta)[/tex], og ikke [tex]\sin(\beta)[/tex], og [tex]\frac{CE}{AC}[/tex] er [tex]\sin(\alpha)[/tex], og ikke [tex]\cos(\alpha)[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Takker for den, metoden over er nok en av de "reneste" for å bevise setningen. Om vi tillater oss å bruke mer avansert matematikk, kan beviset kortes drastisk ned. For eksempel ved bruk av vektorer.

La oss tegne to vektorer på enhetssirkelen som vist under.



Utifra figur har vi at [tex]\vec{u} = (\cos \beta , \sin \beta)[/tex] og [tex]\vec{v} = (\cos \alpha, \sin \alpha)[/tex]. Ut ifra definisjonen av dotproduktet har vi

[tex]a \cdot b \,= \,|a|\cdot|b|\cdot \cos(\angle (a , b)) [/tex]

Siden vi befinner oss på enhetssirkelen så er [tex]|u|=|v|=1[/tex], innsetning gir da

[tex]\cos(\alpha - \beta)\,,=\. (\cos \beta, \sin \beta) \cdot (\cos \alpha , \cos \beta) \,=\, \cos(\alpha) \cos(\beta) \,+\, \sin(\alpha) \sin(\alpha)[/tex]

Et liknende argument kan bli brukt for å vise sinus, ved å la [tex]\alpha[/tex] og [tex]\beta[/tex] være passelige vinkler.

Tillater vi oss å bruke komplekse tall, kan sumformelene for sinus og cosinus bli bevist enda enklere. Eulers identitet sier at

[tex]e^{\theta i} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)[/tex]

Vi lar nå [tex]\theta = \alpha + \beta[/tex], slik at

[tex]e^{(\alpha + \beta) i} = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)[/tex]

Men utifra potensreglene våre så er og

[tex]e^{(\alpha + \beta) i} \,=\, e^{\alpha i} e^{\beta i} \,=\, [ \cos(\alpha) + i \sin(\alpha)] \cdot [ \cos(\beta) \,+\, i \sin(\beta)] \\ \,=\, \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \,+\, i [\sin (\alpha) \cos(\beta) \,+\, \sin(\beta)\cos(\alpha)][/tex]

Her ble det brukt at [tex] i^2 = -1[/tex]. Sammenlikner vi den imaginære og den reelle delen får vi da

[tex]\cos(\alpha + \beta) \,= \, \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)[/tex]
[tex]i \cdot \sin(\alpha + \beta) \,= \, i [\sin (\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)][/tex]

Som ønsket.