Integrasjon

[Arctagon]

Dette er en oppgave vi hadde på tentamen. Jeg prøvde å løse den uten å substituere og ved delvis integrasjon. Det var ikke helt vellykket.

[tex]\int xe^{-2x^2} \, \mathrm{d}x[/tex]

Om jeg setter [tex]-2x^2 = u[/tex], får jeg [tex]\int xe^u[/tex], men her har jeg altså to variabler, og det går jo ikke. Husker læreren gjorde oppgaven på tavla etter tentamen og brukte substitusjon, men det er en stund siden nå.

[Vektormannen]

Husk at du også må bytte differensial i integralet. Det er det som gjør at du kan eliminere den gamle variabelen!

Hvis [tex]-2x^2 = u[/tex] så er [tex]du = -4x dx[/tex]. Integralet blir altså

[tex]\int xe^u \ dx = \int xe^u \cdot \frac{du}{-4x} = -\frac{1}{4} \int e^u \ du[/tex]

[Arctagon]

For en flause. Jeg som alltid pleier å huske å legge til den biten. Skjønner ikke hvorfor jeg ikke tenkte på det her. Jaja, takker for hjelpen, Vektormannen!

[Arctagon]

Forresten, hvordan blir en god notering i dette tilfellet? Noe som dette?

[tex]\int xe^{-2x^} \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex]-2x^2 = u \qquad \rightarrow \qquad \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -4x \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{-4x}[/tex] (Eventuelt biten etter pilen på en ny linje.)

[tex]\int xe^u \frac{\mathrm{d}u}{-4x}[/tex]

[tex]-\frac{1}{4} \int e^u \, \mathrm{d}u[/tex]

[tex]-\frac{1}{4}e^u + \mathcal{C}[/tex]

[tex]u = -2x^2[/tex]

[tex]\underline{\underline{-\frac{1}{4}e^{-2x^2} + \mathcal{C}}}[/tex]

[Vektormannen]

Den enkeltpilen bør du bytte ut med en implikasjonspil. Du trenger egentlig ikke flytte biten lengst til høyre på en ny linje heller.

Når det gjelder resten så er ikke jeg vant med å skrive steg i utregningen under hverandre hvertfall. Det vanligste er vel å skrive stegene etter hverandre med likhetstegn mellom, eventuelt under hverandre med likhetstegn helt til venstre, foran hvert uttrykk.

[Arctagon]

Takker for input. Det med at jeg har som vane å skrive ting under hverandre på den måten, har jeg fra likninger. Har ikke tenkt over det før. :b

[Vektormannen]

Hehe, det er forståelig.

Jeg ville skrevet integralene etter hverandre, slik jeg gjorde i den første posten. Hvis det tar mer enn én linje kan du bare fortsette på linjen under (du begynner da linjen med et likhetstegn.)

Når man løser ligninger er det ok. Men man må da være obs på at det ligger en implisitt ekvivalenspil mellom linjene. (Derfor er det viktig å skrive en énveis implikasjonspil de gangene det er nødvendig, f.eks. når man kvadrerer.)

[Nebuchadnezzar]

Selv har jeg skiftet måten jeg skriver matematikk på litt.
Før var jeg stor fan av å skrive ting under hverandre med mye mellomrom og slikt. Men nå liker jeg bedre å få ting inn på få linjer, og fylle på med tekst i mellom. Dette gjør det raskere å lese igjennom og fange essensen. Vil man gå inn i overgangene, så leser man teksten.

Men det kommer helt ann på sammenhengen, på eksamen bruker jeg mye plass. Skriver stort og forklarer grundig(prøver)

Slik ville jeg ha ført det.
.....................................................................
Evaluer [tex]\int x e^{-2x^2} \, \mathrm{d}x[/tex].
Vi benytter oss her av substitusjonen [tex]u = -2x^2[/tex],
dette gir oss [tex]\mathrm{d}u \,=\, -4x \,\mathrm{d}x[/tex] slik at
[tex]\int x e^{-2x^2} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{4} \int e^{-2x^2} \cdot (- 4x) \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{4} \int e^u \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{4}e^{-2x^2} + \mathrm{C} [/tex].
Som var det vi ønsket å vise.

[Arctagon]

Jeg skal definitivt ta det til meg og begynne å skrive det på den måten. Takk skal du ha.

Av en eller annen grunn får jeg aldri ekvivalenspiler og implikasjonspiler til å sitte helt. Ekvivalenspiler brukes når det pilen står mellom er ekvivalent med hverandre (med andre ord det samme som likhetstegn, bare at det brukes der likhetstegn ikke kan brukes, som ved likninger?), og implikasjonspiler brukes for å vise at noe impliserer noe annet? Stemmer dette? Mulig jeg kunne trengt noen eksempler.

[Nebuchadnezzar]

Forskjellen ligger egentlig bare i hvilken vei, en kan følge pilene. Eksempelvis

Ole kjører naken på mopen sin [tex]\Longrightarrow[/tex] Ole gjør noe ulovlig.

At Ole kjører naken, fører til at han gjør noe ulovlig. Men om vi sier at Ole gjør noe ulovlig, betyr ikke det at Ole kjører naken på mopeden sin.

Ole har norske foreldre [tex]\Longleftrightarrow[/tex] Ole er Nordmann

[tex]x^2\,=\,4 \ \Longleftarrow \ x\,=\,2[/tex]

osv

[Vektormannen]

En implikasjon [tex]A \ \Rightarrow \ B[/tex] sier at hvis A er sann så er B sann. I ligningssammenheng betyr det at hvis en ligning, A, impliserer en annen ligning, B, må det være sånn at hver gang x løser ligning A, så løser x også ligning B. Da har vi lov å skrive implikasjonspil fra A mot B. Hvis også B impliserer A, dvs. at alle løsninger av B også er løsninger av A, er de to ligningene ekvivalente -- de har samme løsningsmengde (akkurat samme x-verdier som løser ligningene). Da kan vi skrive ekvivalenspil mellom dem. Det gir mening å tenke på ekvivalenspilen som et slags "likhetstegn mellom ligninger", som du sier (eller mer generelt et likhetstegn mellom logiske påstander.)

Når vi kvadrerer en ligning er det ikke alltid slik at løsningsmengden er lik etter kvadreringen. x = 3 er sant når x er 3, mens den kvadrerte ligningen [tex]x^2 = 9[/tex] er oppfylt når x = 3 eller når x = -3. Den første ligningen impliserer den kvadrerte ligningen, men altså ikke motsatt. Da må vi skrive en implikasjonspil fra den første til den andre, dvs. [tex]x = 3 \ \Rightarrow \ x^2 = 9[/tex]. (Dette var selvfølgelig et banalt eksempel )

edit: @Nebu: Til slutt der må nok pila gå motsatt vei!

[Nebuchadnezzar]

Fiksa på det nu, slenger inn en tegning som plaster på såret. Må være opplagt til eksamen senere i dag :p

[Vektormannen]

Haha, alt er glemt nå

Forberedt til eksamen?

[Nebuchadnezzar]

Nebu klar til eksamen [tex] \Longleftarrow [/tex] Nebu sitter på matematikk.net kvelden før eksamen

Er så klar som jeg kan være, ikke 100% men pytt =)

[Aleks855]

Nebu og de skitne tegningene sine. Hvem er han som "spiller på kjøttfløyta"?

Enda en "cannot be unseen" til deg, VM