R1 vår 2012

[ZizouJR]

Laster opp R1 eksamen for vår 2012.
Her kan de som vil, diskutere oppgaver, sammenligne svar og kanskje legge ut en fasit?

For min del gikk eksamen rimelig greit. Dreit meg ut litt på oppgave 9a ved å regne ut toppunkt/bunnpunkt og vendepunkt for hånd(uten kalkis) Tok alt for lang tid, og resulterte i at jeg ikke rakk oppgave 8 og 10.
men men..

[Janhaa]

Flott,
jeg har ikke sett noen ting ennå, men førsteinntrykket
MYE jobb...

[ZizouJR]

Det følte jeg også. Oppgavene var stort sett greie, men det tar tid.

[Vektormannen]

Greit nivå på oppgavene syns jeg, men det var mye å gjøre ja!

[Aleks855]

Jeg starter med å løse de jeg ser jeg skal klare hvertfall. Om noen andre også gjør det, så er det selvfølgelig bra, da det ikke er sikkert jeg nailer alle sånn på flekken. Dessuten er det kult med flere metoder og forslag.

Her er uansett oppgave 1a.

[Nebuchadnezzar]

Del I

Oppgave 1

a)

I) [tex] f^\prime(x) = 15x^2 + 1 [/tex]

II) [tex] g^\prime(x) = 15 e^{3x} [/tex]

b)

[tex]2 \log\left( \frac{a^2}{b} \right) + \log(ab) - 3 \log a = \log\left[ \left( \frac{a^2}{b} \right)^2 \cdot ab \cdot \frac{1}{a^3} \right] = \log \left(\frac{a^2}{b} \right) = 2 \log a - \log b[/tex]

c)

I) [tex]f(x) = x^3 - 3x = x(x^2-3)[/tex] så [tex]f(x)=0[/tex] når [tex]x=0[/tex] eller [tex]x=\pm\sqrt{3}[/tex]

II) [tex]f^\prime(x) = 3x^2 - 3. f^\prime(x)=0[/tex] når [tex]x=-1[/tex] eller x=1.

Bunnpunkt [tex](1,-2)[/tex] , toppunkt [tex](-1,2)[/tex]

III) Nei.

d) Legg merke til at
[tex]\begin{array}{ll} P(x) & = & x^3 - 3x^2 - x + 3 \\ & = & x^2(x-3) - (x-3) \\ & = & (x^2-1)(x-3) \\ & = & (x-1)(x+1)(x-3)\end{array}[/tex]

Eventuelt tipp løsningene [tex]x \{ -3 , - 1 , 0 , 1 , 3\} [/tex] da disse verdiene går opp i konstantleddet.

e)
[tex]\mathbf{r(t)} = \left[ 3 t , - 4.9 t^2 \right] [/tex]
[tex]\mathbf{\dot{r}(t)} = \left[ 3 , - 9.8 t \right] [/tex]
[tex]\mathbf{\ddot{r}(t)} = \left[ 0 , - 9.8 \right] [/tex]

Siden [tex]\dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{v}(t)[/tex] og [tex]\ddot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{\dot{v}}(t) = \mathbf{a}(t)[/tex]


Oppgave 2

a) Stigningstallet til linja er [tex]a[/tex]. og stigningstallet til vektoren er [tex]a/1 = a[/tex].

b) Linjene vil da ha retningsvektorer v_1 = [1,a_1] og [tex]v_2 = [1,a_2][/tex]. Om linjene står vinkelrett på hverandre er vinkelen mellom disse 90 grader. Utifra definisjonen av dotproduktet må vi da ha [tex]v_1 \cdot v_2 = 0 \Rightarrow 1 + a_1 \cdot a_2 = 0 \Rightarrow a_1 \cdot a_2 = -1[/tex]

Dot produktet sier at [tex]v\cdot u = |v||u| \cos(u,v)[/tex] og lengden av vektorene våre er 1. Og [tex]\cos(90^\circ)=0[/tex]

c) så [tex]y_2 = -\frac{1}{2}x + b[/tex] og
[tex]5 = -\frac{1}{2}\cdot 0 + b \Rightarrow b = 5[/tex].

d) Nei.


Oppgave 3

d) Likningen for en tangent gjennom et punkt [tex]x=a[/tex] er gitt som

[tex]y = f^\prime(a)(x-a) + f(a)[/tex] hvor [tex]f^\prime(x) = -x^{-2}[/tex] så

[tex]y = -a^{-2}(x-a) + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2} + \frac{2}{a}[/tex]

Som ønsket.

b) For å finne y-skjæringen setter vi [tex]x=0[/tex] så [tex]y = \frac{2}{a}[/tex]
for å finne x-skjæringen, setter vi [tex]y=0[/tex] så [tex]x = 2a[/tex]

c) Arealet av trekanten er gitt som

[tex]\frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2[/tex]

Så arealet er konstant [tex]2[/tex] for alle verdier av [tex]a[/tex].


Del II

Oppgave 4

a) Vi har [tex]\angle{BAC} = \arccos \left( \frac{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\left|\vec{AB}\right| \left|\vec{AC}\right|} \right)[/tex]

Her er [tex]\vec{AB} = [9,5] \, , \, \vec{AC} = [5,6] [/tex] videre får vi

[tex]\angle{BAC} = \arccos \left( \frac{ 9 \cdot 5 + 5 \cdot 6 }{\sqrt{9^2+5^2} \cdot \sqrt{5^2+6^2} } \right) = \arccos\left( \frac{75}{\sqrt{61}\sqrt{106}} \right) \approx 21.14[/tex]

b) For eksempel en god tegning gir [tex]D(1,-3) [/tex]


Oppgave 5

Om AB er diameteren så er [tex]r = \frac{1}{2}\left| AB \right| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{2}[/tex] og
sentrum vil ligge midt mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] så

[tex]O = \left( \frac{1}{2}(4+2) \, ,\, \frac{1}{2}(2+4)\right) = (3,3)[/tex]

Anta at [tex]T = (x,y)[/tex] da vil alle punkter som ligger på sirkelen kunne skrives som [tex]|TO| = r[/tex] så

[tex]\sqrt{(x-3)^2+(y-3)} = \sqrt{2} \Rightarrow (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2[/tex]

som ønsket.


Oppgave 6

a) stigningstallet er forandringen i x retning er [tex](4 - (-1)) = 5[/tex]
og forandringen i y-retning er [tex](2-7)=-5[/tex] slik at retningsvektoren er [tex]u = [5,-5] = 5[1,-1][/tex]

[tex]l = [4 + 5t \, , \, 2 - 5t] = [4 + t\, , \,2 - 5][/tex]

b) [tex]x = 4 + 5t , y = 2 - 5t[/tex] så [tex](0,6)[/tex] og [tex](6,0)[/tex]

c)
Legg merke til at [tex]x + y = ( 4 + 5t ) + (2 - 5t) = 6[/tex], så vi kan skrive parameterfremstillingen som linja. [tex]x + y - 6 = 0[/tex].
Avstanden fra et punkt til ei linje er da gitt som

[tex]d = \frac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2 }} = \frac{1 \cdot 6 + 1 \cdot 3 - 6 }{\sqrt{1^2 + 1^2 }} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.1213[/tex]
Fine formelen...


Oppgave 7

a) Arealet av en trekant er [tex]\frac{1}{2} g \cdot h[/tex] med innsatte verdier fås

[tex]A = g(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{-\frac{x}{2}[/tex]

Som ønsket.

b) Vi ønsker å løse [tex]g^\prime(x) = 0[/tex], derivasjon og faktorisering gir

[tex]g^\prime(x) = -\frac{5}{8} (x-2)e^{-\frac{x}{2}}[/tex]

Via fortegnslinje får vi at arealet er minst når [tex]x=0[/tex] og størst når [tex]x=2[/tex]. Da er arealet

[tex]g(2) = \frac{5}{2} e^{-1} \approx 0.92[/tex]

c)

Vi ønsker at [tex]BA = OA[/tex] så vi må løse

[tex]f(x) = x[/tex] digitale verkøy gir at [tex]x \approx 1.303[/tex]


Oppgave 8

a) [tex]\alpha[/tex] er en periferivinkel halvparten av sentralvinkelen, her her sentralvinkelen [tex]x[/tex].

b) Vi ønsker å bestemme vinkel BCD på to ulike måter
vi ser at [tex]BCD + \beta = 180 \Rightarrow BCD = 180 - \beta[/tex]

Videre så har vi at vinkelsummen i en firkant er [tex]360[/tex] så

[tex]\alpha + ABC + BCD + CDA = 360 [/tex]

[tex]BCD + CDA[/tex] spenner er begge periferivinkler, og spenner ut sirkelen slik at

[tex]2 BCD + 2 CDA = 360 \ \Rightarrow \ BCD + CDA = 180[/tex] , innsatt gir dette at

[tex]\alpha + BCD = 180 \Rightarrow BCD = 180 - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(360 - x) [/tex]
Som var det vi ønsket å vise

c) Vi har at

[tex]180 - \beta = \frac{1}{2}(360 - x) = 180 - \alpha \Rightarrow \beta = \alpha [/tex]

som var det vi ønsket å vise

Oppgave 9

a) Nei

b) [tex]y(x) = a(x+2)(x-1)(x+3)[/tex] hvor [tex]a[/tex] er en eller annen konstant.
Videre så er [tex]y(0) = 12[/tex] så [tex]a = -4[/tex] Altså er

[tex]g(x) = -2(x + 2)(x - 1)(x + 3)[/tex]

c)

[tex]h(x) = a (x+2)(x-2)^2[/tex] siden [tex]h(0)=4[/tex] så er [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] og
[tex]h(x) = \frac{1}{2}(x+2)(x-2)^2[/tex]


Oppgave 10

a) Siden [tex]OACB[/tex] er et kvadrat så er [tex]AC=OB=r=3[/tex]

b) [tex]OAC[/tex] er likebent slik vi setter så [tex]a=OC=AC[/tex] da er
[tex]\sqrt{a^2+a^2} = 3[/tex] slik at [tex]a=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]OABC = a^2 = 9/2[/tex] , det skaverte området blir følgelig

[tex]\frac{1}{4}\pi r^2 - a^2 = \frac{9}{4}(\pi - 2) \approx 2.57[/tex]


Oppgave 11

a) [tex]P(A) = 0.08 \ \ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 0.98[/tex]

b) [tex]P(B|A) = 0.9 \ \ P(B|\bar{A}) = 1 - 0.9 = 0.1[/tex]

[tex]P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) = 0.164[/tex]

[tex]P(\cap(A)|B) = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})}{P(B)} \approx 0.561[/tex]

EDIT: Takker 2357, glemte nr 11.

[ZizouJR]

Oppgave 1b)

Skrev to streker under: [tex]lg(a^2/b)[/tex]

Er det trekk i poeng? Tenkte det var sånn de ville ha det..

[Vektormannen]

Tviler på at det gir noe trekk.

[runnor18]

Oppgave 10

a) Ser at AC = OB = r = 3.
b) Pytagoras' læresetning gir OA^2 + OC^2 = 9.
Siden OA=OC, blir OC^2=9/2.
Arealet av skraverte område= 1/4 πr^2 - OC^2= 1/4π*3^2 - 9/2=2,6.

[Chikamaharry]

Nebu: Siste oppgave, 3c)

[tex]\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\frac{2}{a}=2[/tex]

Ikke 1, vel?

[Knossos]

Hei.
I fjor leste jeg meg opp på R2 på eget initiativ. (ca 6mnd)
I år fikk jeg undervisning i R1. (6 mnd)

Konklusjon: R1 er et slit...

Kan noen legge ut svarene på oppg 11? (Sannsynlighet)

[ZizouJR]

Nebu: Siste oppgave, 3c)

[tex]\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\frac{2}{a}=2[/tex]

Ikke 1, vel?

Jeg fikk 2 på denne oppgaven. Regner med at det bare er en liten slurvefeil fra nebu:)

[2357]

11a)


[tex]P(A) = 0.08[/tex]

[tex]P(\overline{A}) = 0.92[/tex]

b)

[tex]P(B \mid A) = 0.9[/tex]

[tex]P(B \mid \overline{A}) = 0.1[/tex]

[tex]P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid \overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = 0.164[/tex]

c)

[tex]P(\overline{A} \mid B) = \frac{P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})}{P(B)} \approx 0.561[/tex]

[ChristanEeds]

Hvor mange poeng må man ha for å stå ?
Noen sjans for å stå når man har rett på :
1 A , B , D , E
4 , A , B
6 A , B
11 A , B

Tror jeg har minimum 15,6 Poeng og Maks 20,6.

?
Skeptisk.. :s

Edit: får man noen poeng om man har rett fremgangsmåte men gal løsning på andre oppgaver?

[Janhaa]

Hvor mange poeng må man ha for å stå ?
Noen sjans for å stå når man har rett på :
1 A , B , D , E
4 , A , B
6 A , B
11 A , B
Tror jeg har minimum 15,6 Poeng og Maks 20,6.
? Skeptisk.. :s
veiledEdit: får man noen poeng om man har rett fremgangsmåte men gal løsning på andre oppgaver?

ca veiledende:

0 til 16 poeng: en (1)
17 til 26 poeng: to (2)
27 til 36 poeng: tre (3)
37 til 46 poeng: fire (4)
47 til 56 poeng: fem (5)
57 til 60 poeng: seks (6)