Absoluttverdi

[Arctagon]

Ble plutselig usikker. Det er meningen at en skal trekke sammen alle leddene inni et absoluttverditegn før en løser opp absoluttverditegnet, ikke sant? Hva om uttrykket ikke kan trekkes mer sammen og har attpåtil både et positivt og et negativt fortegn? Jeg tenker på for eksempel dette:

[tex]\left|\frac{1}{6} - \frac{a}{2} \right|[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Tja

[tex]\left| \frac{1}{6} - \frac{a}{2}\right| = \frac{1}{6} \mid 1 - 3a \mid [/tex]

Så positiv når [tex]a<\frac{1}{3}[/tex] og negativ når [tex]a>\frac{1}{3}[/tex]

[Arctagon]

Om vi snakker areal, da, som etter en integrasjon? Da vil man gjerne oppgi svaret som en enkel verdi.

[Nebuchadnezzar]

Som sagt, når du skal integrere skal du bare regne uten å tenke =)

Absoluttverdien av en funksjon er gitt som

[tex]\left| f(x) \right| = \left{ \begin{array}{lll} &f(x) & \ \text{dersom} \ f(x) \, \geq \, 0 \\ -& f(x) & \ \text{dersom} \ f(x) \, < \: 0\end{array} \right. [/tex]

Så la oss si du har en funksjon som er positiv når 0<x<2 og negativ når 2<x<4 da er

[tex]\int_0^4 \left| f(x) \right| \, \mathrm{d}x = \int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x + \int_2^4 -f(x)\,\mathrm{d}x[/tex]

[Arctagon]

Å regne blindt når en integrerer gjelder vel bare når oppgaven er å bestemme integralet, og ikke når oppgaven er å finne arealet. Det var det jeg fikk inntrykk av at du mente, i alle fall.

Absoluttverdien av en verdi, er verdien uten fortegn, er den ikke? Både |7| og |-7| er 7.

Om du har en funksjon [tex]f(x) = (1-x)(x-a)[/tex] der [tex]a > 1[/tex], og skal finne arealet som er avgrenset av førsteaksen, andreaksen og første nullpunkt, må du komme fram til en spesifikk verdi. I dette tilfellet ligger arealet det er snakk om i 4. kvadrant.

[Nebuchadnezzar]

Når du skal beregne arealet mellom en funksjon og en akse. Så syntes jeg det er lettest å tenke på det som at vi skal beregne

[tex]\int_a^b \left| f(x) \right| \, \mathrm{d}x[/tex]

Du sier at du ønsker arealet som ligger i 4kvadrant? Dette er da gitt som

[tex]\int_0^1 \left| f(x) \right| \, \mathrm{d}x = \int_0^1 -f(x) \, \mathrm{d}x[/tex]. Siden [tex]a>1[/tex] så vil dette alltid gi ett nullpunkt som er større enn 1.

Skal jeg finne arealet avgrenset av en akse og en funksjon, slenger jeg bare på absoluttverdi rundt funksjonen og regner.

[Arctagon]

Ja, og om du regner med absoluttverdi rundt, vil du forhåpentligvis komme til [tex]\left|\frac{1}{6} - \frac{a}{2} \right|[/tex] om jeg har gjort det riktig. Men er det slik at du blåser i absoluttverditegn og slenger på en minus om [tex]f(x) < 0[/tex] (som den er i dette tilfellet), og en pluss om [tex]f(x) \geq 0[/tex], slik du tidligere beskrev?

[Nebuchadnezzar]

Yes, forenkler livet mitt betraktelig =)

For la oss si at [tex]f(x)<0[/tex] da er jo [tex]-f(x)[/tex] positiv !

[Arctagon]

For la oss si at [tex]f(x)<0[/tex] da er jo [tex]-f(x)[/tex] positiv !

Jepp, det var nettopp det jeg tenkte. Du liker å bruke metoder som lar deg slippe å tenke har jeg skjønt.^^

[Arctagon]

Jeg får nå at

[tex]\int_0^1 -(x - a - x^2 + ax) \, \mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{2}x^2 + ax + \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1 = \left(-\frac{1}{2} + a + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} \right) - 0 = \underline{\underline{\frac{a}{2} - \frac{1}{6}}}[/tex].

Så om dette stemmer, var det altså bare å skifte fortegn i uttrykket i førsteposten. Ser dette forresten riktig ut?

[Nebuchadnezzar]

jupp