Konvergensområdet for en geometrisk rekke som inneholder ...

[Arctagon]

... trigonometriske uttrykk. Fikk ikke plass med alt i tittelen. :C

En geometrisk rekke er gitt:

[tex]\sin x + \sin x \cdot 2\cos x + \sin x \cdot 4\cos^2x + ... \qquad , \qquad x \in \left[0, 2\pi \right>[/tex]

a) Bestem konvergensområdet for rekka.

[tex]a_1 = \sin x \, , \, k=2\cos x[/tex]

Om [tex]x=0[/tex], strider det mot at rekka er geometrisk. Derfor [tex]x \neq 0[/tex].

[tex]-1 \, < \, k \, < \, 1[/tex]

[tex]-1 \, < \, 2\cos x \, < \, 1[/tex]

[tex]-\frac{1}{2} \, < \, \cos x \, < \, \frac{1}{2}[/tex]

Jeg har aldri bestemt konvergensområdet for en geometrisk rekke som inneholder trigonometriske uttrykk før, så jeg vet ikke helt hva jeg skal gjøre. Det ser jo litt merkelig ut med:
[tex]\frac{2\pi}{3} + n \cdot 2\pi \, < \, x \, < \, \frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi[/tex]

[tex]x[/tex] kan jo ikke være større enn et uttrykk og samtidig være mindre enn et uttrykk som er mindre enn det uttrykket den skal være større enn.

Eventuelt, kan en se når [tex]\cos x \, > \, -\frac{1}{2}[/tex] og når [tex]\cos x \, < \, \frac{1}{2}[/tex] og sette opp fortegnsskjema, men det gir ikke alle svarene.

[Vektormannen]

Du kan ikke bare anvende [tex]\cos^{-1}[/tex] tvers gjennom ulikheten nei. Du må på en eller annen måte (f.eks. gjennom fortegnsskjema som du nevner) finne ut hvor, i intervallet [tex]x \in (0, 2\pi)[/tex], [tex]-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}[/tex]. Det enkleste er kanskje å se på enhetssirkelen. For hvilke vinkler i enhetssirkelen har cos x en verdi mellom -1/2 og 1/2?

[Karl_Erik]

Her er det fort gjort å gå i surr. Du kommer riktig frem til at [tex]- \frac 1 2 < \cos x < \frac 1 2[/tex]. Løser du [tex]\cos x = \frac 1 2[/tex] og [tex]\cos x = - \frac 1 2[/tex] får du [tex]x=\frac \pi 3, x=\frac {5\pi} 3[/tex] og [tex]x=\frac {2\pi} 3, x = \frac {4\pi} 3[/tex]. Gjør nå som Vektormannen foreslår og tegn opp enhetssirkelen og merk av disse fire vinklene, eventuelt tegn grafen til cos x og merk av disse fire verdiene på grafen, så ser du hvor x må ligge.

[Arctagon]

Mellom 120 og 60 grader, som er [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{3}[/tex]. Hmm, det gjelder vel også for mellom 60+180 og 120+180 grader, som blir [tex]\frac{4\pi}{3}[/tex] og [tex]\frac{5\pi}{3}[/tex].

Edit:

Her er det fort gjort å gå i surr. Du kommer riktig frem til at [tex]- \frac 1 2 < \cos x < \frac 1 2[/tex]. Løser du [tex]\cos x = \frac 1 2[/tex] og [tex]\cos x = - \frac 1 2[/tex] får du [tex]x=\frac \pi 3, x=\frac {5\pi} 3[/tex] og [tex]x=\frac {2\pi} 3, x = \frac {4\pi} 3[/tex]. Gjør nå som Vektormannen foreslår og tegn opp enhetssirkelen og merk av disse fire vinklene, eventuelt tegn grafen til cos x og merk av disse fire verdiene på grafen, så ser du hvor x må ligge.

Angående det siste du trekker fram her, så er jeg usikker på hvordan jeg skal sette opp konvergensområdet når jeg har fire x-verdier. Blir det mellom minste og største verdi?

[Vektormannen]

Stemmer det!

[Arctagon]

Tusen takk for hjelpen! Jeg går videre (legg for øvrig merke til editen i min forrige post):

b) Bestem summen [tex]S(x)[/tex] og løs likningen [tex]S(x) = 1[/tex] ved regning.

[tex]S(x) = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\sin x}{1 - 2\cos x}[/tex]

Setter [tex]S(x) = 1[/tex].

[tex]\frac{\sin x}{1 - 2\cos x} = 1[/tex]

[tex]\sin x = 1 - 2\cos x[/tex]

Jeg kommer ikke på noen trigonometriske identiter jeg kan bruke her.

[Vektormannen]

Du har ligningen [tex]\sin x + 2 \cos x = 1[/tex]. Disse skal være pensum å løse i R2. Du må skrive om uttrykket på venstre side til en cosinusfunksjon (se mer her: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... mbinations) Det står sikkert om dette i boken din også?

Et alternativ er å opphøye begge sider i andre og styre på, men da må man være påpasselig med falske løsninger.

edit: Her vil det omtrent gå like raskt å gjøre det ved å opphøye begge sider i andre tror jeg

[Arctagon]

Jeg har allerede løst en del trigonometriske likninger hvor en må bruke masse identiteter, men her satt jeg meg altså fast. Identitetene du lenket til, kjenner jeg ikke til. Hva vil egentlig arc si (har lurt på dette en stund)?

Identitetene jeg kjenner til, er:

[tex]\cos^2u + \sin^2u = 1[/tex]

[tex]\sin(u\pm v) = \sin u\cos v \pm \cos u\sin v[/tex]

[tex]\cos(u\pm v) = \cos u\cos v \mp \sin u\sin v[/tex]

[tex]\sin 2u = 2\sin u\cos u[/tex]

[tex]\cos 2u = \cos^2u - sin^2u = 2\cos^2u - 1 = 1 - 2\sin^2u[/tex]

[tex]\tan 2u = \frac{2\tan u}{1 - \tan^2u}[/tex]

Vil svaret til a-oppgaven forresten være: [tex]x \in \left<\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right>[/tex]?

[Vektormannen]

Nei, svaret i a) er ikke riktig. Innenfor det intervallet der vil det være x-verdier som gjør at [tex]\cos x < -\frac{1}{2}[/tex] (se på enhetssirkelen!) Du må ekskludere dette området fra intervallet.

Det jeg linket til er ting som skal stå i R2-boken din. Hvilken bok bruker du?

[Arctagon]

Nei, svaret i a) er ikke riktig. Innenfor det intervallet der vil det være x-verdier som gjør at [tex]\cos x < -\frac{1}{2}[/tex] (se på enhetssirkelen!) Du må ekskludere dette området fra intervallet.

Må jeg skrive det som to intervaller, da? [tex]x \in \left<\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right> \qquad \vee \qquad x \in \left<\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right>[/tex]. Noe sånt? Beklager om jeg roter litt, veldig uvant med trigonometriske uttrykket blandet opp i dette.

Det jeg linket til er ting som skal stå i R2-boken din. Hvilken bok bruker du?

Sigma R2.

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Skriv løsningen slik: [tex]x \in \left< \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right> \cup \left< \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right>[/tex] ([tex]\vee[/tex] brukes mellom logiske uttrykk, ikke mengder / intervall)

I Sigma R2 skal det (ifølge nettsiden deres) stå forklart hvordan du løser ligningen i b-oppgaven under kapittel 3, merket noe sånt som "Løsning av ligningen a cos cx + b sin cx = d". Alternativt kan du som sagt opphøye begge sider i andre. Da vil du kunne benytte deg av [tex]\cos^2 x + \sin^2 x = 1[/tex] til å få en ganske grei ligning.

[Arctagon]

Okay, takk skal du ha! Som sagt, visste ikke hvordan jeg skulle skrive det. Hva heter forresten det symbolet? Det likner litt på symbolet fra sannsynlighet som betyr 'eller', om jeg ikke husker feil.

Jeg har sittet og sett på det delkapittelet før, men der er det bare eksempler. Under delkapittelet før, som heter 'Omskriving til sinus' står det derimot en del ting, og det har jeg faktisk i notatboka mi også. Jeg har derimot aldri fått bruk for den delen før, noe som forklarer en del.

[tex]\sin x + 2\cos x = 1[/tex]

[tex]\sqrt{5}\sin(x + 1.11) = 1[/tex]

[tex]x + 1.11 = 0.46 + n \cdot 2\pi \qquad \vee \qquad x + 1.11 = \pi - 0.46 + n \cdot 2\pi[/tex]

[tex]x = -0.64 + n \cdot 2\pi \qquad \vee \qquad x = 1.57 + n \cdot 2\pi[/tex]

[tex]\underline{\underline{x = \left{1.57 \, , \, 5.64 \right}}}[/tex]

Er dette riktig?

[Vektormannen]

Det er riktig ja

Symbolet heter \cup i LaTex hvis det var det du lurte på. Det betyr union mellom to mengder (i dette tilfellet mellom to intervall, andre ganger er det mellom hendelser i sannsynlighet, og da kan det ofte tolkes som 'eller' som du sier.)

[Arctagon]

Hurra! Dog noe merkelig, ettersom jeg fikk feil for x-veriden 5.64 på tentamen. Det stod opprinnelig bare at vi skulle løse likningen [tex]S(x) = 1[/tex], men læreren kom og sa ifra at han ville vi skulle løse den ved regning. Han sa også at vi likevel skulle få noe uttelling om vi brukte GeoGebra, ettersom det opprinnelig ikke stod spesifisert hvordan oppgaven skulle løses. Jeg brukte altså GeoGebra og leste av de to samme punktene, 1.57 og 5.64, men fikk som sagt feil for 5.64.

Så at den heter \cup ved å holde musepekeren over LaTex-koden din.

Union var det, ja!

[Vektormannen]

Læreren din har nok et poeng. Sumformelen gjelder jo ikke for x = 5.64 -- det er jo utenfor konvergensintervallet!