Konvergensområdet for en geometrisk rekke som inneholder ...

[Nebuchadnezzar]

Anbefaler også å bruke vektormannens hint. Jeg syntes det er mer logisk å kvadrere likningen, da slipper jeg å huske på masse rareformler.

Altså du ønsker å løse

[tex]( \sin(x) + 2 \cos(x) )^2 \, = \, 1^2 [/tex]

[tex]( \sin(x) + 2 \cos(x) )^2 = \cos(x)^2 + \sin(x)^2[/tex]

Det kjekke her, er at du bare benytter deg av ting du kan! =)
I R2 må du tegne, tegn alle tingene! Hjelper svært mye

[Arctagon]

Læreren din har nok et poeng. Sumformelen gjelder jo ikke for x = 5.64 -- det er jo utenfor konvergensintervallet!

Er ikke [tex]2\pi \, > \, 5.64[/tex]?

[tex]( \sin(x) + 2 \cos(x) )^2 = \cos(x)^2 + \sin(x)^2[/tex]

Hva mener du her?

Det kjekke her, er at du bare benytter deg av ting du kan! =)
I R2 må du tegne, tegn alle tingene! Hjelper svært mye

Mener du på kladdeark eller i GeoGebra?

[Vektormannen]

Læreren din har nok et poeng. Sumformelen gjelder jo ikke for x = 5.64 -- det er jo utenfor konvergensintervallet!

Er ikke [tex]2\pi \, > \, 5.64[/tex]?

Jo, men spørsmålet er heller om [tex]\frac{5\pi}{3} > 5.64[/tex]. Det er jo kun i det intervallet du fant i sted at rekken faktisk konvergerer.

[Arctagon]

Ah, så jeg må sammenlikne med konvergensområdet jeg fant. Det er notert. Takk for hjelpen. :3

[Nebuchadnezzar]

Tja du ønsker å løse [tex]\sin(x) + 2\cos(x) = 1[/tex] ikke sant? Kvadrerer vi likningen får vi

[tex]\sin(x)^2 + 4 \cos(x) \sin(x) + 4 \cos(x)^2 = 1 [/tex]

Herfra benytter vi oss av enhetsformenel på venstre side slik at vi får

[tex]4 \cos(x) \sin(x) + 3 \cos(x)^2 = 0[/tex]

[tex]\cos(x)^2 \bigl( 4 \tan (x) + 3 \bigr) = 0[/tex]

Legg også merke til at denne metoden gir deg og eksakte løsninger, altså du får at [tex]x = \pi/2[/tex] og ikke [tex]x \approx 1.57...[/tex] jeg digger eksakte svar.

Som ikke er videre vanskelig å løse, men pass deg for falske løsninger som VM sier =)

EDIT: Det er heller ikke spesielt vanskelig å bare se løsningen heller vi ønsker at

[tex]\frac{\sin(x)}{1 - 2\cos(x)} = 1[/tex]

ideelt sett ønsker vi at [tex]\sin(x)[/tex] leddet skal være en, og [tex]2 \cos(x)[/tex] leddet skal være null. Vi ser da at dette skjer dersom [tex]x = \pi/2[/tex]

[Vektormannen]

@Arctagon: Stemmer. Utenfor konvergensområdet gir det ikke mening å snakke om noen sum, siden rekken vil vokse mot uendelig (kvotienten er jo større enn 1, altså vil hvert ledd bli større og større utover i rekken.)