Romgeometri

[lilleenga]

Hvis jeg skal vise at ei kule tangerer et plan ved en gitt likning x+y+z+1=0 når likningen til kula også er kjent, hvordan går jeg frem? Jeg har jo ingen punkter til å lage en parameterfremstilling for planet, bare retningsvektor.

Hjelp

[Vektormannen]

Her kan du tenke på mange måter. Hva kan du f.eks. si om avstanden fra kula til planet?

[lilleenga]

Avstand = r
At hvis vektor radius står vinkelrett på likningens retningsvektor og er lik 0, vil det si at den tangere.
Er dette en av dem?

[Vektormannen]

Husk at et plan har to retningsvektorer. Du kan finne to sånne, men det hjelper deg ikke så mye her. Men jeg tror du er inne på riktig tankegang.

At planet tangerer vil si at det har ett punkt felles med kula. Dette punktet må da oppfylle to krav: 1) Vektoren fra sentrum til punktet må stå vinkelrett på planet, og 2) vektoren må ha lengde lik radius til kula. Hvis du kan regne ut avstanden fra sentrum til planet og du finner at denne er lik radius til kula så vet du at både 1 og 2 er oppfylt. Er du med på det?

[lilleenga]

jeg mangler et punkt på likningen som jeg kan bruke til å sjekke om lengden av vektoren fra sentrum til planet er lik radiusen...
Alt jeg har er to likninger.

[Vektormannen]

For å finne avstanden så har du jo en avstandsformel for avstanden mellom punkt og plan (se her: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=282). Fra kuleligningen kan du finne sentrum i kula. Da har du det du trenger for å benytte denne formelen.

Alternativt: La P være et mulig tangeringspunkt. Er du enig i at da må [tex]\vec{OP} = \vec{OS} + t \vec{n}[/tex] der S er sentrum i kula og [tex]\vec{n}[/tex] er normalvektoren til planet? Altså, for å gå fra origo til P så går vi først til sentrum av kula. Deretter går vi langs vektoren [tex]\vec{n}[/tex] et stykke (angitt med parameteren t.) For å finne t kan du da benytte at P skal ligge i planet. Da må P oppfylle planligningen. Setter du inn i denne får du da en ligning som bestemmer t. Deretter, for å avgjøre om punktet faktisk tangerer kula, ser du om lengden av vektoren [tex]t \vec{n}[/tex] blir lik radius i kula. Er du med på dette?

[lilleenga]

fant ut på en tungvint måte at normalvektoren til planet må være t*n der t=4 for at lengden av vektoren skal være lik radiusen. Dette gjorde jeg ved å prøve ulike verdier for å få lengden av normalvektoren til å bli lik radiusen. Syns ikke dette lignet noe form for "vis at" oppgave...

[Vektormannen]

Det er ikke en helt optimal måte å gjøre det på nei. Andre ganger kan du jo måtte sitte lenge for å finne riktig parameter hvis du gjør det på den måten.

Det enkleste er nok bare å vise at avstanden fra sentrum til planet er lik radius til kula. Hvis det er tilfellet så må planet tangere kula.

Alternativt kan du gjøre slik jeg beskrev i forrige post. Det blir vel antagelig noe lignende det du har gjort?

[lilleenga]

Syns bare det er rart at de lager oppgaver som går ut på å bruke formler som ikke står oppført i lærebøkene som pensum... Som formelen for "avstand fra punkt til plan"

[Vektormannen]

Jeg er ganske sikker på at den er nevnt i samtlige lærebøker. Hvilken bok bruker du?

Du kan uansett vise det på den andre måten jeg har beskrevet.

[lilleenga]

Sinus R2 Opplag og utgave nr. 1

[Vektormannen]

Da får jeg bare beklage, det trodde jeg var pensum!

Da må du nesten ta å bestemme avstanden på den andre måten jeg har beskrevet. Altså: Finn et uttrykk for posisjonsvektoren [tex]\vec{OP} = \vec{OS} + t \cdot \vec{n}[/tex]. Sett dette inn i planligningen og finn parameteren t. Da har du bestemt koordinatene til det mulige tangeringspunktet P. Så gjenstår det bare å finne lengden av [tex]t \vec{n}[/tex] og se om denne er lik radiusen til kula.

[lilleenga]

Uansett, så takk for hjelpen! Formelen for avstand mellom punkt og plan kan fort komme til nytte på eksamen!