Oppgave med Stokes' teorem

[krje1980]

Hei.

Jeg har benyttet sommerferien til å repetere litt av multivariabel kalkulus pensumet jeg hadde for halvannet år siden. Forsøkte meg på en oppgave om Stokes' Teorem, men kommer ikke helt i mål:


Use Stokes's Theorem to show that

${\oint }_{C}ydx+zdy+xdz=\sqrt{3}\pi a^2$

where $C$ is the suitably oriented intersection of the surfaces $x^2+y^2+z^2=a^2$ and $x+y+z=0$.

OK, så Stokes' teorem sier:

${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\iint }_S\mathrm{curl}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS$

Jeg har regnet ut at:

$\mathrm{curl}\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}.$

Videre har jeg regnet ut at på overflaten $S$ har vi:

$\overrightarrow{N}dS=\frac{\mathrm{\nabla }G(x,y,z)}{G_3(x,y,z)}dxdy=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}dxdy$

(dette følger av ligningen for det oppgitte planet).

Da får jeg imidlertid:

$\mathrm{curl}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=-1-1-1=-3$

Og da får jeg, når jeg projiserer dette ned på $xy$-planet:

${\iint }_S\mathrm{curl}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=-3{\iint }_{A}dA=-3\pi a^2$

som jo ikke stemmer.

Dersom noen kan se hva jeg gjør feil her, så vil jeg sette stor pris på det .

[Gustav]

Retorisk spørsmål: Har du normalisert enhetsnormalvektoren til planet?

Fortegnet har vel å gjøre med retningen man integrerer, og dette er jo avgjørende for retningen til enhetsnormalen. Du må se litt på hva som blir riktig der.

[krje1980]

Hei.

Jeg ser jo at ved å normalisere normalvektoren, så vil jeg få riktig svar (jeg ser jo også nå at jeg selvsagt kan skifte fortegn).

Men i følge min tekstbok så er:

$\overrightarrow{N}=\pm \frac{\mathrm{\nabla }G(x,y,z)}{|\mathrm{\nabla }G(x,y,z)|}$

og:

$dS=|\frac{\mathrm{\nabla }G(x,y,z)}{G_3(x,y,z)}|$

Da får vi:

$\overrightarrow{N}\bullet dS=\frac{1}{sqrt3}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})\cdot \sqrt{3}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

Så dersom jeg skifter fortegn så får jeg svaret $3\pi a^2$, men det er jo fremdeles ikke rett. Som sagt, jeg ser at normalisering av normalvektoren gir riktig svar, men vi må vel også ta hensyn til $dS$?

[Gustav]

Ah, var litt kjapp der ja. Hjernen er åpenbart i feriemodus. For trøtt til å tenke også. Får se på det i morgen.

[krje1980]

OK. Takk skal du ha . Jeg skal på lang fjelltur i morgen, så du får unnskylde hvis jeg ikke får svart deg før i morgen kveld i så fall.

[krje1980]

Har du fått sett noe mer på dette, plutarco?

[Gustav]

Nå vil vel curl F stå normalt på planet og i motsatt retning av positiv enhetsnormalvektor, altså blir $\iint curlF\cdot d\overrightarrow{s}={\int }_{-a}^a{\int }_{-\sqrt{a^2-v^2}}^{\sqrt{a^2-v^2}}-|(-1,-1,-1)|dudv$.

(Fortegnet avhenger jo av hvilken retning kurven C går i.)

Du må nesten skifte til koordinater u og v gitt ved å rotere xy-planet 45 grader om z-aksen til koordinater x´y´og deretter 45 grader om x´.

Projeksjonen av snittet av kula og planet ned på xy-planet blir vel ikke helt enkelt å finne? Kanskje feilen ligger der. Hvilke integrasjonsgrenser har du brukt?

[Masamune]

Jeg tror det er enklest å ikke projisere ned i xy-planet. Integralet ${\int }_{S}dS$ er jo lik $\pi a^2$.

[krje1980]

Takk til dere begge.

Dere har nok et poeng i at det jeg har gjort når jeg har forsøkt å projisere overflaten til xy-planet er feil (jeg satt bare $z=0$ i ligningen for kulen, og fikk da $x^2+y^2=a^2$). Men dette blir jo selvsagt ikke rett ettersom planet ikke skjærer kulen med så stor radius.

Nå er som sagt dette noe som jeg ikke har syslet med på nesten to år, så jeg sparker meg selv litt bak nå for at jeg ikke har holdt dette mer aktivt ved like. Jeg skal forsøke å se videre på oppgaven.

[Gustav]

Takk til dere begge.

Dere har nok et poeng i at det jeg har gjort når jeg har forsøkt å projisere overflaten til xy-planet er feil (jeg satt bare $z=0$ i ligningen for kulen, og fikk da $x^2+y^2=a^2$). Men dette blir jo selvsagt ikke rett ettersom planet ikke skjærer kulen med så stor radius.

Nettopp. Projeksjonen av snittkurven blir jo $x^2+y^2+(-x-y{)}^2=a^2$.

Det er jo mye enklere å bare lage seg nye koordinater u og v som "utspenner" planet x+y+z=0. Integrasjonen blir da slik jeg skrev over.

[krje1980]

Takk skal du ha! Nå er jeg med . Er jo også riktig som Masamune påpeker, at jeg kan bare regne ut integralet av dS uten å projisere ned i xy-planet. Normaliserer vi normalvektoren får vi da det ønskede svaret.