Eksakte trigonometriske verdier

[malef]

I trekanten ABC er [tex]\angle A=30^{\circ}[/tex], [tex]B=45^{\circ}[/tex] og siden AC=a. Normalen fra C på AB skjærer AB i E. I denne oppgaven skal du regne med eksakte verdier.

a) Bestem AE, BC og AB uttrykt ved a.

[tex]AE=\frac{a}{2}\sqrt{3}[/tex]

[tex]BC=\frac{a}{2}\sqrt{2}[/tex]

[tex]AB=\frac{a}{2}(1+\sqrt{3})[/tex]

b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn CD uttrykt ved a.

[tex]CD=\frac{a}{4}(\sqrt{3}-1)[/tex]

Så langt er alle svar greie og fasitsjekket.

c) Et kvadrat KLMN er innskrevet i trekanten ABC. Hjørnene K og L ligger på siden AB, hjørnet M på BC og hjørnet N på AC.
Finn siden i kvadratet uttrykt ved a.

Hvordan skal oppgave c) angripes?

[Kork]

[tex]$$AK + NK + LB = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$$[/tex]

Du kan finne AK og LB utrykt ved NK

[malef]

Takk for svar! Dessverre klarer jeg ikke å se hvordan det hjelper meg. Siden sist legger jeg merke til at NK=LB, men jeg kommer liksom ikke videre

[Kork]

[tex]$$\cos 30^\circ = \frac{{NK}}{{AK}} \Leftrightarrow AK = \frac{{2NK}}{{\sqrt 3 }}$$[/tex]


[tex]$$\cos 45^\circ = \frac{{NK}}{{LB}} \Leftrightarrow LB = \frac{{2NK}}{{\sqrt 2 }}$$[/tex]


[tex]$$AK + NK + LB = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$$[/tex]


[tex]$$\frac{{2NK}}{{\sqrt 3 }} + NK + \frac{{2NK}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$$[/tex]

[Brahmagupta]

Sett kvadratets sidelengde som x. Trekant BLM er likebeint så BL=ML=x.
Trekant ANK er en 90,60,30 trekant. Dermed er AN det dobbelte av NK altså 2x.
Da kan man løse for AK ved pytagoras:
[tex]AK=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt3x[/tex]

Da kan man bruke korks ligning:
[tex]AK+KL+LB=\sqrt3x+x+x=\frac12a(\sqrt3+1)[/tex]

[tex]x(2+\sqrt3)=\frac12a(\sqrt3+1)[/tex]

[tex]x=a\frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3+1)^2}=\frac12a(\sqrt3-1)[/tex]

Den siste utregningen er ikke så viktig (jeg har også droppet en del ledd), enten oppgir fasiten brøken som svar, eller så vil en annen løsningsmetode gi løsningen direkte. Hvis du kan bruke kalkulator vil den også gi denne eksaktverdien forutsatt at jeg ikke har slurva...

Man kan selvfølgelig også bruke trig (tangens) for å uttrykke AK og LB ved x.

Det går også an å løse oppgaven ved å betrakte arealet på to måter. Først finne det eksakte arealet og sette dette lik summen av arealene av de mindre trekantene (og kvadratet) alle uttrykt ved x.

[malef]

Takk så mye - nå begynner jeg å skjønne litt

Jeg henger med til hit:

[tex]x= \frac{a(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}+2)} = \frac{a(\sqrt{3}+1)}{4+2\sqrt{3}}[/tex]

Hvordan gjøres den siste overgangen?

[Nebuchadnezzar]

Du ganger inn 2 og bytter om ledden

[Brahmagupta]

Trikset for å fjerne roten fra nevneren er å gange med konjugatet av nevneren i teller og nevner.

[tex]a\frac{\sqrt3+1}{4+2\sqrt3}=a\frac{(1+\sqrt3)(4-2\sqrt3)}{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}[/tex]

[tex]=a\frac{4-6+(4-2)\sqrt3}{4^2-(2\sqrt3)^2}=a\frac{2(\sqrt3-1)}{4^2-(2\sqrt3)^2}[/tex]

[tex]=\frac12a(\sqrt3-1)[/tex]

Hvis man ser at [tex]4+2\sqrt3=(1+\sqrt3)^2[/tex], går utregningen enda enklere.
Da blir uttrykket kun: [tex]\frac1{\sqrt3+1}[/tex]
Ganger man her med [tex]\sqrt3-1[/tex] i teller og nevner følger svaret med en gang. Det er dette jeg gjorde i den første posten. Det jeg har gjort over fungerer selv om man ikke ser at det er kvadratet av telleren.

[malef]

Jeg ser at spørsmålet mitt kunne misforstås. Jeg lurte på hvordan overgangen fra uttrykket i forrige post til utrykket under er:


[tex]x=\frac12a(\sqrt3-1)[/tex]

[Brahmagupta]

Jeg har endret litt på forrige innlegg, er det forståelig nå?

[malef]

Supert - nå skjønner jeg. Tusen takk for hjelpen!

[Kork]

Beklager jeg blandet tan og cos i innlegget mitt

Er helt fjern noen ganger

[malef]

Tross fjernheten var du til veldig god hjelp, i alle fall! Og det fremgikk jo nokså tydelig at det var tangens du mente Det var en lettelse å endelig kunne regne se gjennom denne oppgaven!