Her er det noe rart.
I formelboka mi, så står det at:
[tex]\int_a^b f(x)dx \ \approx \ = \ S_n \ = \ (y_0+4y_1+2y_2+\dots +4y_{2n-1}+y_{2n})\frac{b-a}{6n}[/tex]
Altså, hvis vi skal bruke Simpsons formel med 4 intervaller, så bruker vi egentlig 8?
Men i løsningsforslagene så brukes det bare 4 intervaller. Altså:
[tex]S_n \ = \ (y_0 + 4y_1+2y_2+\dots +4y_{n-1}+y_n)\cdot \frac{b-a}{3n}[/tex]
Er det noe jeg har gått glipp av her?
Simpsons formel
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Du skal bruke [tex]4[/tex] ja, men simpsonsmetode må ha et like antall intervaler, derfor [tex]2n[/tex]. Hvorfor kan du tygge litt å tegne litt på =)
Selv foretrekker jeg å benytte meg av at
S = (T + 2M) / 3 = (2T + M) / 3 og T_2n = ( T_n + M_n ) / 2
Litt lettere å huske på og regne på.
Selv foretrekker jeg å benytte meg av at
S = (T + 2M) / 3 = (2T + M) / 3 og T_2n = ( T_n + M_n ) / 2
Litt lettere å huske på og regne på.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Hei, disse to formlene er jo ekvivalente. Eneste forskjellen er at i den første formelen tillates n å være både like og odde, mens i den andre må n være like. Blir du bedt om å bruke Simpsons formel med 4 intervaller må du enten bruke den første formelen med n=2, eller den andre med n=4, begge gir samme svar/sum.Aleks855 wrote:Her er det noe rart.
I formelboka mi, så står det at:
[tex]\int_a^b f(x)dx \ \approx \ = \ S_n \ = \ (y_0+4y_1+2y_2+\dots +4y_{2n-1}+y_{2n})\frac{b-a}{6n}[/tex]
Altså, hvis vi skal bruke Simpsons formel med 4 intervaller, så bruker vi egentlig 8?
Men i løsningsforslagene så brukes det bare 4 intervaller. Altså:
[tex]S_n \ = \ (y_0 + 4y_1+2y_2+\dots +4y_{n-1}+y_n)\cdot \frac{b-a}{3n}[/tex]
Er det noe jeg har gått glipp av her?
Nebu, hva kalles den formelen du bruker der? Den har jeg ikke sett. Har du en link eller noe jeg kan lese om den?
Plutarco: Nå ser jeg det!
Så eksempelvis hvis vi har n=5, så vil vi få 6 stk [tex]y_i[/tex] som ikke går, siden det er partall. Da må man bruke den med 2n slik at når man regner med [tex]y_0[/tex] så får man 2n+1 (odde) iterasjoner av y.
Har vi derimot n=4 så vil det bli 5 iterasjoner (odde) uansett, som er kravet.
Er det sånn å forstå?
Plutarco: Nå ser jeg det!
Så eksempelvis hvis vi har n=5, så vil vi få 6 stk [tex]y_i[/tex] som ikke går, siden det er partall. Da må man bruke den med 2n slik at når man regner med [tex]y_0[/tex] så får man 2n+1 (odde) iterasjoner av y.
Har vi derimot n=4 så vil det bli 5 iterasjoner (odde) uansett, som er kravet.
Er det sånn å forstå?
Hm, ikke sikker på hva du mener, men kan prøve å forklare det slik:
Simpsons formel er en metode for å approksimere arealet under en graf, altså integralet [tex]\int_a^b f(x)dx[/tex]. I denne metoden må vi alltid dele inn intervallet [a,b] vi integrerer over i et like antall (n) delintervaller av lengde [tex]\Delta x=\frac{b-a}{n}[/tex]. Arealet over hvert par av påfølgende delintervaller approksimeres ved hjelp av Simpsons regel http://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule
Prøv å bruk Simpsons regel for å skrive opp den generelle Simpsons formel. Kanskje dette gir dypere innsikt i den generelle formelen.
PS: Det er lurt å bruke notasjonen [tex]a=x_0, x_1,...,x_n=b [/tex] for partisjoneringen av intervallet [a,b]. Da blir Simpsons regel
[tex]\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}f(x)dx=\frac{\Delta x}{3}\left (f(x_{i-1})+4f(x_i)+f(x_{i+1})\right )[/tex], og
[tex]\int_a^bf(x)dx=\int_{a}^{x_{2}}f(x)dx+\int_{x_{2}}^{x_{4}}f(x)dx+...+\int_{x_{n-2}}^{x_{b}}f(x)dx[/tex]
Simpsons formel er en metode for å approksimere arealet under en graf, altså integralet [tex]\int_a^b f(x)dx[/tex]. I denne metoden må vi alltid dele inn intervallet [a,b] vi integrerer over i et like antall (n) delintervaller av lengde [tex]\Delta x=\frac{b-a}{n}[/tex]. Arealet over hvert par av påfølgende delintervaller approksimeres ved hjelp av Simpsons regel http://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule
Prøv å bruk Simpsons regel for å skrive opp den generelle Simpsons formel. Kanskje dette gir dypere innsikt i den generelle formelen.
PS: Det er lurt å bruke notasjonen [tex]a=x_0, x_1,...,x_n=b [/tex] for partisjoneringen av intervallet [a,b]. Da blir Simpsons regel
[tex]\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}f(x)dx=\frac{\Delta x}{3}\left (f(x_{i-1})+4f(x_i)+f(x_{i+1})\right )[/tex], og
[tex]\int_a^bf(x)dx=\int_{a}^{x_{2}}f(x)dx+\int_{x_{2}}^{x_{4}}f(x)dx+...+\int_{x_{n-2}}^{x_{b}}f(x)dx[/tex]
Last edited by Gustav on 07/08-2012 03:42, edited 1 time in total.
Ok, brukte litt tid på dette, plutarco, og det hjalp enormt. Det bekrefta også det jeg sa i forrige post. Beklager at det var litt uklart.
Det jeg mente var at i Simpsons formel så er det viktig at vi har et odde antall iterasjoner av f(x) å bruke, for at vi skal kunne ende med 4 som koeffisient på [tex]y_1[/tex] og [tex]y_{n-1}[/tex], og det 2n-formelen gjør er at den sikrer nettopp det at vi får et odde antall iterasjoner å jobbe med.
Koeffisient-rekka skal jo være:
1 4 2 4 ... 4 2 4 1
Men det jeg sliter med nå er feilestimeringa, og dette er noe jeg har slitt lenge med.
Når vi estimerer [tex]\int_1^2 \sin (\ln x )) dx[/tex] med 4 intervaller, så går det greit å estimere selve integralet, men så kommer feilestimeringa.
Her bruker jeg formelen [tex]\frac{M(b-a)^5}{180n^4}[/tex] der M er den høyeste verdien av [tex]f^{(4)}(x)[/tex] på intervallet [1, 2].
Det jeg har gjort er følgende:
- Ser at lnx er stigende på intervallet [1, 2], med verdimengde [0, ln2]
- Ser at sinx er stigende på intervallet [0, ln2] siden ln2 < [symbol:pi]/2
- Siden vi da har negativ koeffisient så er hele den fjerdederiverte synkende på intervallet [1, 2], så [tex]M=f^{(4)}(1)[/tex] må da være brukbar? Men den er jo lik 0, så den er jo ubrukelig.
Det løsningsforslaget har gjort er noe jeg ikke ser logikken bak.
http://i.imgur.com/B7Foc.jpg
På slutten der har man jo satt inn x=2 i telleren, men x=1 i nevneren så man får [tex]\frac{10\sin (\ln 2)}{1^4}[/tex]
Noen som ser tankegangen der?
Det jeg mente var at i Simpsons formel så er det viktig at vi har et odde antall iterasjoner av f(x) å bruke, for at vi skal kunne ende med 4 som koeffisient på [tex]y_1[/tex] og [tex]y_{n-1}[/tex], og det 2n-formelen gjør er at den sikrer nettopp det at vi får et odde antall iterasjoner å jobbe med.
Koeffisient-rekka skal jo være:
1 4 2 4 ... 4 2 4 1
Men det jeg sliter med nå er feilestimeringa, og dette er noe jeg har slitt lenge med.
Når vi estimerer [tex]\int_1^2 \sin (\ln x )) dx[/tex] med 4 intervaller, så går det greit å estimere selve integralet, men så kommer feilestimeringa.
Her bruker jeg formelen [tex]\frac{M(b-a)^5}{180n^4}[/tex] der M er den høyeste verdien av [tex]f^{(4)}(x)[/tex] på intervallet [1, 2].
Det jeg har gjort er følgende:
- Ser at lnx er stigende på intervallet [1, 2], med verdimengde [0, ln2]
- Ser at sinx er stigende på intervallet [0, ln2] siden ln2 < [symbol:pi]/2
- Siden vi da har negativ koeffisient så er hele den fjerdederiverte synkende på intervallet [1, 2], så [tex]M=f^{(4)}(1)[/tex] må da være brukbar? Men den er jo lik 0, så den er jo ubrukelig.
Det løsningsforslaget har gjort er noe jeg ikke ser logikken bak.
http://i.imgur.com/B7Foc.jpg
På slutten der har man jo satt inn x=2 i telleren, men x=1 i nevneren så man får [tex]\frac{10\sin (\ln 2)}{1^4}[/tex]
Noen som ser tankegangen der?
Det som er gjort i løsningsforslaget er bare å beregne en øvre skranke for feilen. Det betyr ikke nødvendigvis at den fjerdederiverte av f tar denne verdien i noe punkt på intervallet [1,2].
Sagt på en annen måte: en øvre skranke er ikke nødvendigvis minste øvre skranke i denne oppgaven/løsningen.
Tankegangen din tar heller ikke hensyn til at det er absoluttverdien til [tex]f^{(4)}[/tex] vi skal finne. Selv om [tex]f^{(4)}[/tex] er synkende er [tex]|f^{(4)}|[/tex] voksende siden [tex]f^{(4)}(1)=0[/tex]
Sagt på en annen måte: en øvre skranke er ikke nødvendigvis minste øvre skranke i denne oppgaven/løsningen.
Tankegangen din tar heller ikke hensyn til at det er absoluttverdien til [tex]f^{(4)}[/tex] vi skal finne. Selv om [tex]f^{(4)}[/tex] er synkende er [tex]|f^{(4)}|[/tex] voksende siden [tex]f^{(4)}(1)=0[/tex]
Så grunnen til at det er satt inn x=2 i teller og x=1 i nevner er rett og slett fordi det gir høyest mulig resultat?
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Ja. En brøk er jo størst når teller er størst og nevner er minst.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ja, men er det derfor det ble satt inn forskjellige x-verdier? Er vi ute etter høyest mulig resultat?
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Tja vanligvis i LF velges [tex]K[/tex] slik at [tex]K > f^{4}(x)[/tex], så lenge K er større enn f for alle verdier er det ikke såå nøye hvor nære K er.
Selvsagt er det bedre å velge K fra maksimumsverdien fra den fjerdederiverte, men dette kan ofte by på mye lang regning. Og da kan en sjappis som er litt mindre nøyaktig være like bra.
Selvsagt er det bedre å velge K fra maksimumsverdien fra den fjerdederiverte, men dette kan ofte by på mye lang regning. Og da kan en sjappis som er litt mindre nøyaktig være like bra.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ja, jeg prøvde å femtederivere f(x) en gang, for å finne ekstremalpunktene. Det var en kjedelig prosess som ikke førte noe sted, fordi maksverdien på intervallet [1, 2] er jo ikke nødvendigvis et ekstremalpunkt 
Men for å være litt kjip; kunne jeg bare valgt en usannsynlig høy K bare for å gardere meg, og krevd poeng?
Men for å være litt kjip; kunne jeg bare valgt en usannsynlig høy K bare for å gardere meg, og krevd poeng?
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Tja er jo igjen svaret, da ville du fått en urimelig høy feilverdi, det viktigste er bare å kunne vurdere selvstendig hvor godt feilestimat som trengs.
Er er eksempelvis og [tex]10 \sin(\log 2)[/tex] laangt over maksverdien.
Om du leser videre står det at vi og kan sette [tex]K=10[/tex] siden [tex]|sin(\ln(x))|\leq 1[/tex]
(Er ikke noe spesielt vanskelig å bestemme maksimalverdien)
For å finne maks til [tex]f^{(4)}[/tex] finner vi nullpunktet til [tex]f^{(5)}[/tex]
[tex]f^{(5)} = \frac{10}{x^5} \bigl( 4\sin( \log x ) -\cos(\log x) \bigr)[/tex]
Setter [tex]f^{(5)}=0[/tex] og kan ignorere nevner siden [tex]1<x<2[/tex]
[tex]4 \sin(\log x) = \cos (\log x)[/tex] deler likningen på [tex]\cos(\log x)[/tex] så [tex]\log x = \arctan \left(\frac{1}{4}\right) + \pi n[/tex]
hvor [tex]n[/tex] er et naturlig heltall
Velger vi her [tex]n=0[/tex] får vi løsningen [tex]x = \exp(\arctan(1/4)) \approx 1.2776[/tex] som er den eneste verdien som ligger i intervalet vårt (sjekk dette selv). Siden vi er ute etter [tex]\max(|f^{(4)}(x)|)[/tex] spiller det ingen rolle om dette er et toppunkt eller bunnpunkt.
Altså har vi at maksverdien til
[tex]|f^{(4)(x)}|[/tex] er [tex]|f^{(4)}(\exp(\arctan(1/4)))|=\frac{10}{\sqrt{17}} \exp(-4 \arctan(1/4)) \approx 0.91030[/tex]
Nå gjenstår det bare å sjekke randen av definisjonsmengden, altså at
[tex]|f^{(4)}(\exp(\arctan(1/4)))|[/tex] er større enn både [tex]|f^{(4)}(1)|[/tex] og [tex]|f^{(4)}(2)|[/tex]
Så det vil være mye bedre og for eksempel velge [tex]K=1[/tex] i dette tilfellet.
men igjen dette klarer du nok selv. Selv velger jeg nok den late veien å bare finner en grei nok [tex]K[/tex], ikke nødvendigvis den laveste.
Men igjen Simpsons er nok ikke det beste her
det er mye lettere å bare regne ut integralet direkte.
Vi definerer
[tex]J = \int \sin(\log x) \, \mathrm{d}x[/tex] og [tex]K = \int \cos(\log x) \, \mathrm{d}x[/tex]
da er
[tex]J + K = x \sin(\log x) + \mathcal{C} [/tex] og [tex]J - K = - x \cos ( \log x) + \mathcal{D} [/tex]
via delvis integrasjon. (Benytt [tex]u = \cos(\log x)[/tex] på første og [tex]u = \sin(\log x)[/tex] på andre. Løsningen av likningsettet gir
[tex]J = \frac{x}{2}\left[\sin(\log x) - \cos(\log x)\right] + \mathcal{C} [/tex]
Med innsatte verdier
[tex]\int_1^2 \sin(log x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} - \cos(\log 2 ) + \sin(\log 2 ) \approx 0.36972[/tex]
som ønsket.
Er er eksempelvis og [tex]10 \sin(\log 2)[/tex] laangt over maksverdien.
Om du leser videre står det at vi og kan sette [tex]K=10[/tex] siden [tex]|sin(\ln(x))|\leq 1[/tex]
(Er ikke noe spesielt vanskelig å bestemme maksimalverdien)
For å finne maks til [tex]f^{(4)}[/tex] finner vi nullpunktet til [tex]f^{(5)}[/tex]
[tex]f^{(5)} = \frac{10}{x^5} \bigl( 4\sin( \log x ) -\cos(\log x) \bigr)[/tex]
Setter [tex]f^{(5)}=0[/tex] og kan ignorere nevner siden [tex]1<x<2[/tex]
[tex]4 \sin(\log x) = \cos (\log x)[/tex] deler likningen på [tex]\cos(\log x)[/tex] så [tex]\log x = \arctan \left(\frac{1}{4}\right) + \pi n[/tex]
hvor [tex]n[/tex] er et naturlig heltall
Velger vi her [tex]n=0[/tex] får vi løsningen [tex]x = \exp(\arctan(1/4)) \approx 1.2776[/tex] som er den eneste verdien som ligger i intervalet vårt (sjekk dette selv). Siden vi er ute etter [tex]\max(|f^{(4)}(x)|)[/tex] spiller det ingen rolle om dette er et toppunkt eller bunnpunkt.
Altså har vi at maksverdien til
[tex]|f^{(4)(x)}|[/tex] er [tex]|f^{(4)}(\exp(\arctan(1/4)))|=\frac{10}{\sqrt{17}} \exp(-4 \arctan(1/4)) \approx 0.91030[/tex]
Nå gjenstår det bare å sjekke randen av definisjonsmengden, altså at
[tex]|f^{(4)}(\exp(\arctan(1/4)))|[/tex] er større enn både [tex]|f^{(4)}(1)|[/tex] og [tex]|f^{(4)}(2)|[/tex]
Så det vil være mye bedre og for eksempel velge [tex]K=1[/tex] i dette tilfellet.
men igjen dette klarer du nok selv. Selv velger jeg nok den late veien å bare finner en grei nok [tex]K[/tex], ikke nødvendigvis den laveste.
Men igjen Simpsons er nok ikke det beste her
det er mye lettere å bare regne ut integralet direkte.
Vi definerer
[tex]J = \int \sin(\log x) \, \mathrm{d}x[/tex] og [tex]K = \int \cos(\log x) \, \mathrm{d}x[/tex]
da er
[tex]J + K = x \sin(\log x) + \mathcal{C} [/tex] og [tex]J - K = - x \cos ( \log x) + \mathcal{D} [/tex]
via delvis integrasjon. (Benytt [tex]u = \cos(\log x)[/tex] på første og [tex]u = \sin(\log x)[/tex] på andre. Løsningen av likningsettet gir
[tex]J = \frac{x}{2}\left[\sin(\log x) - \cos(\log x)\right] + \mathcal{C} [/tex]
Med innsatte verdier
[tex]\int_1^2 \sin(log x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} - \cos(\log 2 ) + \sin(\log 2 ) \approx 0.36972[/tex]
som ønsket.
Last edited by Nebuchadnezzar on 08/08-2012 19:32, edited 6 times in total.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ja, en fin Taylor-rekke hadde nok vært å foretrekke, men jeg kan ingenting om det. Jeg vet hva det er, og innser at det hadde vært lettere å jobbe med på et så lite intervall, but alas =(
Men takk for forklaringa. Ser at akkurat den oppgaven ikke er så veldig gung-ho med tanke på hvilken fremgangsmåte man tar. Og de feilestimeringsformlene var det siste jeg trengte å kunne før jeg føler at jeg kan hele pensum.
3 dager til jeg skal konte for å få A'en
Men takk for forklaringa. Ser at akkurat den oppgaven ikke er så veldig gung-ho med tanke på hvilken fremgangsmåte man tar. Og de feilestimeringsformlene var det siste jeg trengte å kunne før jeg føler at jeg kan hele pensum.
3 dager til jeg skal konte for å få A'en
Lite oppfølgerspørsmål igjen:
Når vi evaluerer at [tex]|f^{(4)}(x)|[/tex] er stigende på intervallet, så kan vi velge en eller annen [tex]M \geq |f^{(4)}(2)|[/tex] sant? Så jeg kan velge eksempelvis M=0.4, siden [tex]|f^{(4)}(2)| \approx 0.39935[/tex]?
I løsningsforslaget står det at den minste verdien for M er [tex]M=0.91034[/tex], men ser ikke hvor den kommer fra.
EDIT: Never mind, ser at det kommer av ekstremalpunkt i intervallet
Når vi evaluerer at [tex]|f^{(4)}(x)|[/tex] er stigende på intervallet, så kan vi velge en eller annen [tex]M \geq |f^{(4)}(2)|[/tex] sant? Så jeg kan velge eksempelvis M=0.4, siden [tex]|f^{(4)}(2)| \approx 0.39935[/tex]?
I løsningsforslaget står det at den minste verdien for M er [tex]M=0.91034[/tex], men ser ikke hvor den kommer fra.
EDIT: Never mind, ser at det kommer av ekstremalpunkt i intervallet