Likning

[educate]

Jeg trenger fremgangsmåte for å løse følgende likninger:

[tex]\frac{18-5^x}{5^x} = 5^x+ 2[/tex]

Jeg har forsøkt å løse likningen over ved å multiplisere nevneren i brøken med funksjonen til høyre for å få ei annengradslikning, uten hell.

Jeg trenger også hjelp til denne:

[tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = 2^x+ 1[/tex]

[Fibonacci92]

Det du foreslår burde føre frem til riktig svar i begge oppgavene, så dersom du fører fremgangsmåten din så kan vi påpeke hvor det går galt:)

[educate]

Her er hva jeg har prøvd på i den første oppgaven:

[tex]\frac{18-5^x}{5^x} = 5^x+ 2[/tex]
[tex]18-5^x = (5^x+2)\cdot5^x[/tex]
[tex]18-5^x = 5^2^x+2\cdot5^x[/tex]
[tex](5^x)^2+2\cdot5^x = 18-5^x[/tex]
[tex](5^x)^2+2\cdot5^x+18-5^x = 0[/tex]

Det er vel så langt jeg har kommet på denne, og et sted på veien her har det blitt feil...

Den andre oppgaven er jeg usikker på:

[tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = 2^x+ 1[/tex]

[Fibonacci92]

I første oppgaven gjør du helt rett frem til overgangen til siste linje. Du har feil fortegn på de to siste leddene.
[tex](5^{x})^{2} +2 \cdot 5^{x} = 18 - 5^{x} [/tex]

Legger til [tex]5^{x} [/tex] på begge sider av likhetstegnet.

[tex](5^{x})^{2} +2 \cdot 5^{x}+ 5^{x} = 18 - 5^{x} +5^{x} [/tex]
[tex](5^{x})^{2} +2 \cdot 5^{x}+ 5^{x} = 18 [/tex]
[tex](5^{x})^{2} +3 \cdot 5^{x} = 18 [/tex]

Trekker fra 18 på begge sider av likhetstegnet.

[tex](5^{x})^{2} +3 \cdot 5^{x} - 18 = 18 - 18 [/tex]
[tex](5^{x})^{2} +3 \cdot 5^{x} - 18 = 0 [/tex]

Setter [tex] u = 5^{x} [/tex]

Da får vi annengradslikningen:

[tex]u^{2} +3u - 18 = 0 [/tex]

Klarer du resten nå?

[Aleks855]

Jeg ville satt [tex]u=5^x[/tex] fra første stund. Mye enklere å jobbe med hele veien

[Fibonacci92]

Det er selvfølgelig riktig i og med at han allerede har ideen om annengradslikning:)

[Nebuchadnezzar]

Og selvfølgelig er det "unødvendig" å innføre [tex]u=5^x[/tex], men det kan ofte gjøre ting lettere i begynnelsen.

Alternativ I

legg merke til at siden [tex]-18 = -3 \cdot 6[/tex] og [tex]-3 + 6 = 3[/tex] så er

[tex](5^x)^2 + 3\cdot 5^x - 18 = (5^x - 3)(5^x + 6)[/tex]

som er et resultat fra Viete (også kjent som Vietes formel, litt missvisende da han har flere formler).

Bevis:
Anta at likningen [tex]x^2 + bx + c[/tex] kan skrives på formen [tex](x+m)(x+n)[/tex]. Ganger vi ut fås

[tex]x^2 + bx + c = x^2 + (n+m)x + n\cdot m[/tex]

Altså kan [tex]x^2 + bx + c[/tex] skrives på formen [tex](x+m)(x+n)[/tex] hvis og bare hvis det finnes to tall [tex]n[/tex] og [tex]m[/tex] slik at [tex]n+m = b[/tex] og [tex]n\cdot m = c[/tex]. Som var det vi ønsket å vise.

Alternativ II

kan vi og skrive om likningen litt for å kunne faktorisere den.

[tex](5^x)^2 + 3\cdot 5^x - 18[/tex]

[tex](5^x)^2 - 3\cdot 5^x + 6\cdot 5^x - 18[/tex]

[tex]5^x( 5^x - 3) + 6 \left( 5^x - 3)[/tex]

[tex](5^x - 3)(5^x + 6)[/tex]

[educate]

Når jeg løser annengradslikningen [tex]u^2 = 3u - 18, [/tex] får jeg [tex]u = 3[/tex] eller [tex]u = -6[/tex]

Fasiten har [tex]\frac{lg3}{lg5}[/tex] som løsning. Er det forenlig med løsningen ovenfor?

Videre har jeg prøvd meg på denne likningen: [tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = 2^x+ 1[/tex]
[tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = (2^x+ 1)\cdot(2^x- 1)[/tex]
[tex]5 \cdot 2^x-7= (2^x)^2+2^x- 1[/tex]
[tex]5 \cdot 2^x-2^x-7= (2^x)^2+2^x-2^x- 1[/tex]
[tex](2^x)^2-4 \cdot 2^x+6 = 0[/tex]

Annengradslikningen i siste ledd lar seg ikke løse, så jeg har gjort en feil et sted?

[fuglagutt]

Når jeg løser annengradslikningen [tex]u^2 = 3u - 18, [/tex] får jeg [tex]u = 3[/tex] eller [tex]u = -6[/tex]

Fasiten har [tex]\frac{lg3}{lg5}[/tex] som løsning. Er det forenlig med løsningen ovenfor?

Videre har jeg prøvd meg på denne likningen: [tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = 2^x+ 1[/tex]
[tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = (2^x+ 1)\cdot(2^x- 1)[/tex]
[tex]5 \cdot 2^x-7= (2^x)^2+2^x- 1[/tex]
[tex]5 \cdot 2^x-2^x-7= (2^x)^2+2^x-2^x- 1[/tex]
[tex](2^x)^2-4 \cdot 2^x+6 = 0[/tex]

Annengradslikningen i siste ledd lar seg ikke løse, så jeg har gjort en feil et sted?

Du gjør en feil i overgangen:

[tex]\frac{5 \cdot 2^x-7}{2^x-1} = (2^x+ 1)\cdot(2^x- 1)[/tex]
[tex]5 \cdot 2^x-7= (2^x)^2+2^x- 1[/tex]

Det er en feil i første leddet, da du kun har multiplisert høyre side med [tex]2^x-1[/tex], regner med at det kun er en typo da den var rettet linjen nedenfor.

Den virkelige feilen er når du ganger ut parantesene, legg merke til at du har tredje kvadratsetning, altså (a+b)(a-b), og uttregningen av den skal være [tex]a^2-b^2[/tex]

Forhåpentligvis vil det gjøre oppgaven løselig Ellers er fremgangsmåten også helt korrekt videre

Ang. den andre oppgaven der du har løsningene:
u = 3 og u = -6, så vil dette si at 5^x = 3 og 5^x = -6

5^x får aldri blitt et negativt tall, altså er den eneste løsningen 5^x = 3.

Løser du den likningen får du svaret x = lg3/lg5

[educate]

Det løste seg.

Takk for hjelpen!