SØKER HJELP FRA GODE HJERTER bl.a: integrasjon, lim, extrema

[franskmatte]

Hei! Jeg skal opp i eksamen i Paris ved universitetet Paris 2 Assas. Økonomi første år. Jeg klarte ikke matte eksamen i juni, så må gjøre den på nytt nå. Jeg klarer ikke å øve meg. Jeg kan formlene osv men klarer ikke bruke dem. Jeg har to eksamenseksempler som kanskje noen vi guide meg i gjennom? De er artige men på et veldig avansert nivå (tror jeg da..)
Vil noen hjelpe meg? Har to eksamenseksempler... Kun 4 oppgaver på hver.

Det hadde betydd utrolig mye..

(bl.a: integrasjon, lim, extremas, polynom, derivasjon og Df)

[Gustav]

Det er nå bare å legge ut oppgavene her. Det beste er om du viser hva du har gjort og hvor langt du har kommet.

[franskmatte]

Det er nå bare å legge ut oppgavene her. Det beste er om du viser hva du har gjort og hvor langt du har kommet.

kan jeg legge ut PDF?

[franskmatte]

eksempel:
f(x)=(x-1)^2-3+3e^x-1 DELT PÅ x-1
hvis x [symbol:ikke_lik] 1

f(x)=3 hvis x=1


a) regne ut lim når f går mot 1 og vise at f er kontinuerlig i 1

b) vise at f er deriverbar for x [symbol:ikke_lik] 1 og regne ut f'(x) for x [symbol:ikke_lik] 1

c) regne ut derivabiliteten til f i 1

d) er f' kontinuerlig i 1 ?

Beklager hvis dårlig oversatt fra fransk...

[Gustav]

Vanskelig å forså hva f(x) skal være.

Er det

[tex]f(x)=\frac{(x-1)^2-3+3e^{x-1}}{x-1}[/tex] ?

[franskmatte]

Vanskelig å forså hva f(x) skal være.

Er det

[tex]f(x)=\frac{(x-1)^2-3+3e^{x-1}}{x-1}[/tex] ?

klarer ikke lage de fine tegnene.
men sånn ser det ut:

[Gustav]

Ok

HVa har du tenkt på de ulike oppgavene? hva har du fått til?

[Gustav]

1a) [tex]\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2-3+3e^{x-1}}{x-1}[/tex]. Her vil både teller og nevner være 0 når vi setter inn x=1, altså kan vi bruke L´Hopitals regel.

Dette gir at

[tex]\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2-3+3e^{x-1}}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{2(x-1)+3e^{x-1}}{1}=3[/tex].

f(x) er kontinuerlig i punktet x=1 dersom grensen [tex]\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)[/tex], og dette er beviselig riktig utfra beregningen over.

[franskmatte]

Jeg klarte det med å bruke L'Hopitals regel. Jeg tenkte ikke at jeg burde bruke den der, men det fungerte jo. TUSEN TAKK!!
Jeg ble redd når jeg ser disse e'ene. Jeg fikk i alle fall at den er lik 3, det vil si at den er kontinuerlig i 1.

Nå skal jeg vise at den er deriverbar for x [symbol:ikke_lik] 1. Vil du gi meg et hint til hvordan jeg gjør det?
Er det å sette inn l'hopitals regel her også? For x [symbol:ikke_lik] 1?

Jeg prøver å forklare mitt spørsmål. I a) har jeg bevist at den er deriverbar i 1, så i b) skal jeg bevise at den er deriverbare for alle x [symbol:ikke_lik] 1?

[2357]

I a) har jeg bevist at den er deriverbar i 1

Nei, det er oppgave c). Du beviste at funksjonen er kontinuerlig i x=1.

Når [tex]x \neq 1[/tex] er [tex]f[/tex] gitt ved [tex]\frac{(x-1)^2 - 3 + 3e^{x-1}}{x-1}[/tex] som åpenbart er deriverbar. Om du vil vise dette utdypende, kan du bruke følgende:

Anta at funksjonene [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er deriverbare i punktet [tex]a[/tex], og at [tex]c[/tex] er en konstant. Da er også funksjonene [tex]cf[/tex], [tex]f+g[/tex], [tex]f-g[/tex], [tex]f \cdot g[/tex] og (forutsatt at [tex]g(a) \neq 0[/tex]) [tex]f/g[/tex] deriverbare i [tex]a[/tex].

Og bryte ned [tex]f[/tex] i små, delfunksjoner du vet er deriverbare. Personlig hadde jeg nøyd meg med å nevne at når [tex]x\neq 1[/tex] er nevneren ikke-null.

[franskmatte]

I b sier jeg altså at den er deriverbar for x ikke lik 1. Og hvordan regner jeg ut
f'(x) for x ikke lik 1? Jeg kan deriveringsregel for brøk. Det jeg lurer på for å "regne ut" dette da, setter jeg inn et tall for x?

Så i c skal jeg se på stigningstallet (deriverbarheten) til f i 1. Altså f(1) eller f(x)=1 ?
Hvordan gjør jeg det?
Jeg prøvde å sette inn f(1) men det blir jo null. Skal jeg bruker hopitals regel her også?

f(x)=3 hvis x=1. Er det nok å bare si det, eller..?

[franskmatte]

f(x)=3 hvis x=1. Er det nok å bare si det, eller..?

Nei, nå tenkte jeg meg om. Jeg må sette f(x)=1.
Altså jeg kan kun bruke den første brøken.
Jeg må da derivere den og sette den deriverte lik 1?

[2357]

For å regne ut den deriverte der [tex]x \neq 1[/tex] bruker du kvotientregelen, ja, men du skal ikke sette inn noen verdier for x.

I c) må du bruke definisjonen av den deriverte, altså [tex]f^\prime(1)=\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}[/tex].

[franskmatte]

Men definisjonen av den deriverte for denne brøken blir vel u'v-uv'/v^2 ? Eller må jeg bruke definisjonen?

[franskmatte]

I c) må du bruke definisjonen av den deriverte, altså [tex]f^\prime(1)=\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}[/tex].

Foresten.. Jeg synes dette er vanskelig.
Jeg skal altså bruke beviset til derivering
[tex]f^\prime(1)=\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}[/tex].

Den f(1) som står i teller, det blir jo [tex] \frac {0}{0}[/tex]
Må jeg bruke hopitals regel her først sånn at den blir 3? Slike at det til slutt blir 1-3 i teller? altså [tex] \frac {(-2)}{0}[/tex]
Det går jo ikke....