Integrasjon og volum

[mikki155]

Området som er avgrenset at grafen [tex]f(x) = e^x - 1[/tex], x-aksen og linja x = 2, skal dreies 360 grader rundt x-aksen. Finn volumet.

Da må arealet være gitt ved at [tex](f(x))^2 \cdot[/tex] [symbol:pi] av hver snittflate, der radiusen selvsagt avhenger av x-verdien. Hvis vi integrerer, deler vi opp figuren i uendelig mange biter av disse snittflatene, og summerer; dermed får vi volumet. Problemet er:

[tex](e^x - 1)^2[/tex] [symbol:pi] = [symbol:pi] [tex](e^x^2 - 2e^x + 1)[/tex]

Når jeg så integrerer (ubsetemt) arealet, får jeg:

[symbol:pi] [tex](\frac {e^x^2}{2x} - 2e^x + x + C)[/tex]

Når jeg integrerer (bsetemt) mellom x = 2 og x = 0, får jeg feil svar. Hvor ligger feilen?

[Vektormannen]

Her skjer det to feil, men retter du på den første så unngår du den andre problemstillingen. Det første er at [tex](e^x)^2 = e^{x \cdot 2} = e^{2x} \neq e^{x^2}[/tex]. Husk at [tex](a^b)^c = a^{b \cdot c}[/tex].

Hvis du nå skulle komt over [tex]\int e^{x^2} dx[/tex] (noe du ikke kommer til å gjøre her), så er det ikke det [tex]\frac{e^{x^2}}{2x}[/tex]. Det ser du hvis du deriverer igjen. Den regelen det ser ut som du kanskje har brukt gjelder kun når du har integralet av x opphøyd i en konstant.

Fiks det første og se om du klarer det da.

(Tips: I LaTex kan du få pi-symbolet ved å skrive \pi)

[mikki155]

Aha, fikk det til nå =) Den første regelen måtte graves fram litt ^^

Jeg antar den regelen kanskje gjelder for e dersom u'(x) ikke inneholder x? For man må jo dele på kjernen derivert som en integrasjonsmetode. Altså:

[tex](e^{2x})[/tex]' = [tex]e^{2x} \cdot[/tex] u'(x), der u'(x) = 2

Hvis man skal finne en måte å integrere den, må man jo dele på kjernen derivert. Det var det jeg antok dersom u'(x) inneholdt x, men jeg tenker at det kanskje blir forklart i kapittel 7 i R2 boken.

(Takk for tipset)

[Vektormannen]

Det har du helt rett i. Hvis 'kjernen' er en lineær funksjon, altså en funksjon som har en konstant derivert, så er integralet bare lik integralet av den ytre funksjonen delt på kjernens deriverte.

For å integrere funksjoner med mer sammensatte 'kjerner' har man den såkalte sbustitusjonsmetoden som du sikkert skal lære mer om snart.

[mikki155]

Sant det, skal lese en del om det snart.

[Nebuchadnezzar]

Uansett er det ikke så vanskelig å legge merke til at

[tex]\pi \int_0^2 (e^x-1)^2 \mathrm{d}x \, = \, \pi \int \left( \frac{1}{2}e^{2x} - 2 e^x + x\right)^\prime \mathrm{d}x \,=\, \pi\left[ \frac{1}{2}e^{2x} - 2 e^x + x \right]_0^2 \, = \, \ldots[/tex]

og for å fikse problemene med derivasjonstegnet i LaTeX versjonen på formet kan en bruke eksempelvis

^, eller ^\prime eller ^{\tiny\prime}

[mikki155]

Takk takk, nebbu =)