Følge - induksjon og grenseverdi?

[Razzy]

Vis at følgen:

[tex]$${a_1} = 1,\;\;\;{a_n} = \sqrt {2 + {a_{n - 1}}} \;\;for\;n \ge 2$$[/tex]

vokser og har 3 som øvre grense. Finn denne grensen.


Løsningsforslag:

*Tolker det som at jeg først skal påvise at følgen vokser (alltid); det kan f.eks. gjøres ved bruk at induksjon.

Grenseverdien finner jeg ved å løse: [tex]$$\left\{ {\sqrt {2 + {a_{n - 1}}} } \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]

Har jeg tenkt riktig? (jobber med induksjonen nå)

Kan jeg løse induksjonen som en ulikhet?:

[tex]$$P\left( n \right):\;\;\sqrt {2 + {a_{n - 1}}} \;>\; 1\;\;for\;n \ge 2.$$[/tex]

Beviser jeg dette, har jeg vist følgen vokser mot uendelig.

[Razzy]

Løsningsforslag del I:

Vis at følgen vokser

[tex]$${a_1} = 1,\;\;\;{a_n} = \sqrt {2 + {a_{n - 1}}} \;\;for\;n \ge 2$$[/tex]


Løst med Induksjon:

[tex]$$P\left( n \right):\;\;\sqrt {2 + {a_{n - 1}}} > 1\;\;for\;n \ge 2.$$[/tex]


[tex]$${\rm{Grunnsteget:}}$$[/tex]

[tex]$$P\left( 2 \right):\;\;{a_2} = \sqrt {2 + {a_{2 - 1}}} $$[/tex]

[tex]$$P\left( 2 \right):\;\;{a_2} = \sqrt {2 + 1} = \sqrt 3 \approx 1,7.$$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow \;Da\;\sqrt 3 \; > \;1\;gjelder\;grunntilfellet.$$[/tex]


[tex]$${\rm{Induksjon:}}$$[/tex]

[tex]$$Antar{\rm{:}}\;P\left( k \right):\;\;\sqrt {2 + {a_{k - 1}}} > 1\;\;for\;k \ge 2.$$[/tex]

[tex]$$Ser\;p{\aa}\;v.s{\rm{:}}\;P\left( {k + 1} \right){\rm{:}}\;\;\sqrt {2 + {a_{\left( {k + 1} \right) - 1}}} $$[/tex]

[tex]$$P\left( {k + 1} \right){\rm{:}}\;\;\sqrt {2 + {a_k}} $$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow Da\;\sqrt {2 + {a_2}} = \sqrt {2 + \sqrt 3 } \approx 1,9\; > \;1\;vokser\;rekken.$$[/tex]

[Razzy]

Løsningsforslag del II:

Følgen har 3 som øvre grense. Finn denne grensen.

[tex]$${a_1} = 1,\;\;\;{a_n} = \sqrt {2 + {a_{n - 1}}} \;\;for\;n \ge 2$$[/tex]


Grenseverdi

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {2 + {a_{n - 1}}} \;\;for\;n \ge 2.$$[/tex]

Går det an å bruke klemmeteoremet her? Er ganske sikker på et det er et teorem jeg ikke har tenkt på...

[Vektormannen]

I oppgaveteksten står det at man skal vise at følgen vokser mot 3. Det vil den såvidt jeg kan se ikke; den vil konvergere mot 2. Har du skrevet av oppgaveteksten rett?

Når du snakker om å vise at den vokser mot uendelig, blir ikke det da en selvmotsigelse i forhold til teksten? Den sier jo rett frem at følgen går mot en verdi. Da er det ikke noe poeng i å prøve å vise at den divergerer vel?

En annen ting: Hvis du viser at elementene i følgen er større enn 1, betyr det generalt da at følgen nødvendigvis må vokse? (Pass på å ikke blande med rekker som er en sum av elementene i følgen. En sum vil nødvendigvis måtte vokse når leddene er større enn 1.)

EDIT: Nå glemte jeg å si det, men for å vise at følgen vokser så må du vise at hvert element er større enn det forrige, i stedet for større enn 1. Er du med på det? (Det kan du bruke induksjon til!)

[Razzy]

I oppgaveteksten står det at man skal vise at følgen vokser mot 3. Det vil den såvidt jeg kan se ikke; den vil konvergere mot 2. Har du skrevet av oppgaveteksten rett?

Når du snakker om å vise at den vokser mot uendelig, blir ikke det da en selvmotsigelse i forhold til teksten? Den sier jo rett frem at følgen går mot en verdi. Da er det ikke noe poeng i å prøve å vise at den divergerer vel?

En annen ting: Hvis du viser at elementene i følgen er større enn 1, betyr det generalt da at følgen nødvendigvis må vokse? (Pass på å ikke blande med rekker som er en sum av elementene i følgen. En sum vil nødvendigvis måtte vokse når leddene er større enn 1.)

EDIT: Nå glemte jeg å si det, men for å vise at følgen vokser så må du vise at hvert element er større enn det forrige, i stedet for større enn 1. Er du med på det? (Det kan du bruke induksjon til!)

Takker for tilbakemeldingen - du kommer som vanlig med gode og oppklarende kommentarer.

Jeg poster så snart jeg kommer til noe mer