Følger - grenseverdi avgjør hva som skjer

[Razzy]

[tex]$$\left( a \right)\;\;\left\{ {{1 \over n} - {1 \over {n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]


[tex]$${{\rm Re}\nolimits} gel:\;{\lim }\limits_{x \to c} \left( {f \pm g} \right)\left( x \right) = L \pm M$$[/tex]


[tex]$${Vi\;har\;at:\;\;{\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{1 \over n}} \right) - {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{1 \over {n + 1}}} \right) = 0 - 0 = \underline 0 \cr \underline{\underline { \Rightarrow Konvergerer\;mot\;0.}} \cr}$$[/tex]

Denne jeg greit.


[tex]$$\left( b \right)\;\;\left\{ {{{\left( {{1 \over n} - 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]

[tex]$${{\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over n} - 1} \right)^n} = \left( {0 - 1} \right) = \underline { - 1} \cr \underline{\underline { \Rightarrow Konvergerer\;mot\; - 1.}} \cr} $$[/tex]

Er dere enige i denne?

[Nebuchadnezzar]

Her har du ikke en sum av to grenser, prøv å sette inn noen store tall hva skjer? (Nei, grensen går ikke mot -1)

For å finne denne må en trikse og mikse litt. La

[tex]y = \left( \frac{1}{n} - 1\right)^n[/tex]

Ta så logaritmen på begge sider

[tex]\log y = n \log \left( \frac{1}{n} - 1\right)[/tex]

Herfra kan du for eksempel skrive om høyre side til

[tex]\frac{ \log \left( \frac{1}{n} - 1\right)}{1/n}[/tex]

så kan du benytte deg av L`hoptial til å evaluere grensen.
også huske å opphøye begge sider til e

[Razzy]

Her har du ikke en sum av to grenser, prøv å sette inn noen store tall hva skjer? (Nei, grensen går ikke mot -1)

For å finne denne må en trikse og mikse litt. La

[tex]y = \left( \frac{1}{n} - 1\right)^n[/tex]

Ta så logaritmen på begge sider

[tex]\log y = n \log \left( \frac{1}{n} - 1\right)[/tex]

Herfra kan du for eksempel skrive om høyre side til

[tex]\frac{ \log \left( \frac{1}{n} - 1\right)}{1/n}[/tex]

så kan du benytte deg av L`hoptial til å evaluere grensen.
også huske å opphøye begge sider til e

Her har du tenkt:


Kilde: http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... nerelt.pdf


Forsøker meg:

[tex]$$y = {\left( {{1 \over x} - 1} \right)^x},\;\;\;x > 0.$$[/tex]

[tex]$$\ln y = \ln {\left( {{1 \over x} - 1} \right)^x} = x\ln \left( {{1 \over x} - 1} \right)$$[/tex]

[tex]$${e^{\ln y}} = {e^{x\ln \left( {{1 \over x} - 1} \right)}} = {e^x} \cdot {e^{\ln \left( {{1 \over x} - 1} \right)}}$$[/tex]

[tex]$$y = {e^x} \cdot \left( {{1 \over x} - 1} \right)$$[/tex]


[tex]$${\rm{Bruker}}\;{\rm{n{\aa}}}\;{\rm{L.Hopitals}}\;{\rm{til}}\;{\rm{{\aa}}}\;{\rm{finne:}}{\;\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)\;$$[/tex]

[tex]$${\lim }\limits_{x \to \infty } \;{e^x} \cdot \left( {{1 \over x} - 1} \right) = {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\left( {{{{e^x}} \over x} - {e^x}} \right)= \limits^{L.H.} {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\left( {{{{e^x}} \over 1}} \right) - {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{e^x}} \right) = ...$$[/tex]

Har lyst til å skrive at denne oppgaven verken konvergerer eller divergerer (noe som blir nevnt som et alternativ i oppgaveteksten).

Har jeg gjort noe galt underveis?

[Nebuchadnezzar]

[tex]e^a \cdot e^b \neq e^{ab}[/tex] Derimot så er [tex]e^a \cdot e^b = e^{a+b} [/tex]

Bruk lhopital før du opphøyer begge sider

[2357]

Uff!

[Razzy]

[tex]e^a \cdot e^b \neq e^{ab}[/tex] Derimot så er [tex]e^a \cdot e^b = e^{a+b} [/tex]

Bruk lhopital før du opphøyer begge sider

Arh så litt feil der, pluss at jeg tydeligvis er rusten på logaritme regningen.

Hadde tenkt å gjøre som du først foreslo, men er litt usikker på hvordan jeg skal angripe:

[tex]$$y={\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\log \left( {{1 \over n} - 1} \right)} \over {1/n}}} \right]$$[/tex]

Har jeg i det hele tatt skrevet det riktig så langt?

Uansett, hvordan tenker jeg da jeg skal derivere teller og nevner her?

Uff!

En fantastisk pedagogisk og ikke minst konstruktiv kommentar du kommer med her

[2357]

'Uff!' var rettet mot Nebus grove skrivefeil. I og med at han rettet den opp, tror jeg den var pedagogisk nok.

[Nebuchadnezzar]

[tex]$$y={\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\log \left( {{1 \over n} - 1} \right)} \over {1/n}}} \right]$$[/tex]

Har jeg i det hele tatt skrevet det riktig så langt?

Uansett, hvordan tenker jeg da jeg skal derivere teller og nevner her?

Du har gjort riktig så langt ja. Bare husk at det skal være

[tex]\log y = \lim_{n \to \infty } \left[ \frac{\log \left( \frac{1}{n} - 1 \right) }{1/n} \right] [/tex]

L`hôpital i kombinasjon med vanlige derivasjonsregler funker vel fjell her?

Eksempelvis så er [tex]\left( \log (g(x)) \right)^\prime = \frac{g^\prime(x)}{g(x)}[/tex] og [tex]\left( \frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^2}[/tex].

[Razzy]

[tex]\log y = \lim_{n \to \infty } \left[ \frac{\log \left( \frac{1}{n} - 1 \right) }{1/n} \right] [/tex]

L`hôpital i kombinasjon med vanlige derivasjonsregler funker vel fjell her?

Eksempelvis så er [tex]\left( \log (g(x)) \right)^\prime = \frac{g^\prime(x)}{g(x)}[/tex] og [tex]\left( \frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^2}[/tex].

[tex]\log y = lim_{x \to \infty }\left [ \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}-1}*-\frac{1}{x^{2}}}{-\frac{1}{x^{2}}} \right ][/tex]

Også etter ett steg til ble det bare styggere, med mindre jeg ganget med x^2 i teller og nevner, men dette skal man være forsiktig med...

[2357]

Hvorfor det? x går mot uendelig. Dessuten har du samme faktor oppe og nede; det er bare å stryke den.