Funksjoner og surjektivitet

[svinepels]

Jeg har forstått det slik at en funksjon er fullstendig bestemt av grafen sin. Hvis to funksjoner har samme graf, er de altså like som funksjoner.

La [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] og [tex]g : \mathb{R} \to [0, \infty)[/tex] være gitt ved være gitt ved [tex]f(x)=g(x)=x^2[/tex]. Bildet til f og g er [tex][0,\infty)[/tex], altså er g surjektiv, mens f ikke er det.

Likevel er grafen deres lik, etter hva jeg har forstått:

[tex]\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, y=x^2 \} = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times [0,\infty) \, : \, y=x^2 \}[/tex]

Så f = g, men f og g har ikke de alle de samme egenskapene? Spurte en foreleser om dette, men han sa at grafene til f og g ikke er like, fordi de eksisterer innenfor ulike "supersets".

[Gustav]

Det hele blir jo et definisjonsspørsmål: Hvis du mener at f og g er like dersom grafene er like, må du nesten definere hva som menes med at to grafer er like. (f.eks. om to grafer er like kun dersom de utgjør de samme undermengdene av like kodomener til funksjonene)

Strengt tatt vil vel funksjonene f:R->R gitt ved [tex]f(x)=x^2[/tex] og g:R->R^+ gitt ved [tex]g(x)=x^2[/tex] være to forskjellige funksjoner siden de har forskjellige kodomener.

[svinepels]

En graf er jo kun en mengde, i hvert fall i konteksten over. Når jeg sier at to grafer er like, mener jeg at de som mengder er like. Er ikke de to mengdene jeg har satt likhetstegn mellom i førsteposten like?

Er enig i at f og g bør betraktes som ulike funksjoner, men med funksjonsdefisinsjonen som sier at en funksjon er lik sin graf eller er fullstendig bestemt av grafen sin, så betraktes f og g som like. Er i hvert fall det jeg mener at eksempelet mitt demonstrerer.

[Gustav]

Påstanden om at to funksjoner er like dersom grafene er like er nok ikke gyldig.

[svinepels]

Hmm, i så fall en annen konklusjon enn den jeg fikk fra foreleseren, nemlig at grafene ikke var like. Jeg vet at funksjoner ofte defineres som grafen deres, det vil si at man i mitt eksempel sier [tex]f= \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}:y=x^2 \}[/tex]. I så fall blir jo f og g så like som de kan bli, enda den ene er surjektiv mens den andre ikke er det.

Kan ikke se noen annen løsning enn å i stedet definere en funksjon som et ordnet par der førstekoordinatet er codomain, mens andrekoordinatet er grafen, e.l. får da [tex]f=(\mathbb{R}, \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}:y=x^2 \})[/tex]

[wingeer]

Funksjoner blir vel ofte definert som grafer i mer "uformelle" settinger. Når man gjør ting litt mer formelt er det mer vanlig å spesifisere nettopp hvilke domene og kodomene funksjonen jobber på. Selv om grafene er like er fortsatt ikke funksjonene de samme, da de har forskjellige egenskaper (den ene er en bijeksjon, den andre ikke).
Du kan også si det som at korrespondansen mellom en funksjon og dens graf ikke nødvendigvis er injektiv (i at forskjellige funksjoner kan sendes til samme graf).

[Gustav]

Fra wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_of_a_function

Note that although a function is always identified with its graph, they are not the same because it will happen that two functions with different codomain could have the same graph. For example, the cubic polynomial mentioned below is a surjection if its codomain is the real numbers but it is not if its codomain is the complex field.

Utfra dette tolker jeg det slik at man ikke kan si at en funksjon er fullstendig bestemt ut fra grafen.

[svinepels]

@Wingeer: I de bøkene jeg har lest har den uformelle måten å definere funksjoner på, vært som en "regel" som tilegner hvert element i X eksakt ett element i Y. Den mer formelle måten har derimot vært å definere en funksjon som en relasjon fra A til B der det forekommer nøyaktig ett ordnet par for hvert element i A.

Men den siste definisjonen, altså at en funksjon er lik det vi ofte kaller grafen, utelater informasjon om en funksjons kodomene.

Hvordan defineres i så fall funksjoner på en formell måte for å unngå dette problemet?

[espen180]

I den fullstendig formelle settingen assosierer vi med enhver funksjon [tex]f\,:\,X\rightarrow Y[/tex] mellom mengder to funksjoner [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex], kalt source og target-funksjonene, slik at [tex]s(f)=X[/tex] og [tex]t(f)=Y[/tex]. Disse defineres hhv. som domenet og kodomenet til funksjonen og er en del av dataen som definerer funksjonen. I denne settingen er altså komposisjonen [tex]gf[/tex] av funksjonene [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] kun definert dersom [tex]s(g)=t(f)[/tex].

Hvis du har to funksjoner [tex]f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] og [tex]g\,:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+[/tex], begge gitt ved [tex]x\mapsto x^2[/tex], er disse formellt forskjellige, men relaterte, funksjoner. Spesifikt, hvis vi definerer [tex]h\,:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+[/tex] ved [tex]h(x)=x[/tex] hvis [tex]x\geq 0[/tex] og [tex]h(x)=0[/tex] hvis [tex]x<0[/tex], har vi [tex]g=hf[/tex].

Det generelle maskineriet vi bruker her er kategoriteori. Spesifikt er vi i kategorien av mengder og funksjoner. http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory

Trivia: Før kategoriteori ble utviklet skrev man funksjoner som [tex]f\subset X\times Y[/tex].