Grense-sml-kriteriet

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{n + {3^n}} \over {n + {4^n}}}} $$[/tex]


Skal bruke enten sammenlikningskriteriet eller grense-sammenlikningskriteriet her - jeg har valgt grense-sml da jeg ikke kom frem ved bruk av sml-kriteriet:

Når n blir veldig stor mener jeg at: [tex]$${{{n + {3^n}} \over {n + {4^n}}}}$$[/tex] går mot: [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] da [tex]$$n + 4 \gg {n^2}$$[/tex] når n går mot uendelig.

Jeg ønsker å bevise konvergens.

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{n+3^n}{n+4^n}}{\frac{1}{n^2}} \cdot {{{n^2}} \over {{n^2}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^3} + {n^2} \cdot {3^n}} \over {n + {4^n}}} \cdot {{{n^{ - 3}}} \over {{n^{ - 3}}}}$$[/tex]

[tex]$$Krav;\;\;Dersom\;L\;eksisterer\;og\; \ne \;0.$$[/tex]

Er ikke dette oppfylt kan vi ikke bruke denne testen?


[tex]$$ = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1+\frac{3^n}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{4^n}{n^3}} = {{1 + \infty } \over {0 + \infty }} = $$[/tex]


Kom ikke helt i havn her, hva tenker dere?

[Vektormannen]

Jeg tror det er lurt å sammenligne med noe som ligner mer på rekken. Hva med den geometriske rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}[/tex]? Denne vet du jo konvergerer, siden den har en kvotient som er mellom -1 og 1. Prøv grensesammenligning med denne.