Derivasjon brøk

[millionaire]

Kan noen vise utregningene til disse steg for steg?

Deriver:

a, b, p og q er konstanter


1) X = p+qt^3 / te^t

Fasit:

X = (-qt^4 + 2qt^3 -pt -p) / t^2e^t


2) X = (at + bt^2)^2 /e^t

Fasit:

X = ( t (a+bt) (-bt^2 + (4b -a)t + 2a)) e^-t


På forhånd takk!

[2357]

[tex]\begin{align} \left( \frac{p+qt^3}{te^t} \right)^\prime &= \frac{\left(p + qt^3 \right)^\prime \cdot te^t - \left(p + qt^3 \right) \cdot \left(te^t \right)^\prime }{(te^t)^2} \\ &= \frac{3qt^2 \cdot (t\cancel{e^t}) - (p + qt^3) \cdot \left(\cancel{e^t} + t\cancel{e^t} \right)}{t^2e^{\cancel{2}t}} \\ &= \frac{3qt^3 - p - qt^3 - pt -qt^4 }{t^2e^t} \\ &= \frac{-qt^4 + 2qt^2 - pt - p}{t^2e^t}\end{align}[/tex]

[millionaire]

Hmm så når man stryker bort e^t skal (p+qt^3) ganges med 1 også ganges med t (på andre rad av det du skrev) ?

[2357]

Ja. Essensielt faktoriserer du ut [tex]e^t[/tex] først til [tex](1 + t)e^t[/tex] og så stryker.

[millionaire]

Takk!
Går løs på oppgave 2.....tror ikke jeg klarer den men forsøker nå.
Håper du kan hjelpe meg om jeg ikke får til den...

[millionaire]

2) X = (at + bt^2)^2 /e^t

Fasit:

X = ( t (a+bt) (-bt^2 + (4b -a)t + 2a)) e^-t


Denne oppgaven klarer jeg helt til hit så blir det bare rot etterpå...

X'= (2a^2t + 6abt^2 + 4b^2t^3) (a^2t^2 + 2abt^3 + b^2t^4)

Hmmmm ser stygt ut.....?

[Aleks855]

Ja, den der var ganske stygg, og jeg får ikke noe penere svar selv. Bare en enorm brøk.

Men unngå å løs opp parentesene. Dette uttrykket blir bare styggere og styggere jo mer man ganger dem ut.

Jeg avslutter ved [tex]x^,(t) = \frac{(at+bt^2)^2e^t-(2at+2bt^2)(a+2bt)}{e^t}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Som og kan skrives som

[tex]\dot{x}(t) = t^2(a+bt)^2 - 2t(a+bt)(a+2bt)e^{-t}[/tex]

[tex]\dot{x}(t) = t\left(t(a+bt) - 2(a+2bt)e^{-t}\right)(a+bt)[/tex]

Om det er noe spesielt penere blir en smaksak

[millionaire]

Jeg forstår ikke hvordan dere bytter side...

Jeg kommer til:

X'= 2( at+bt^2 )( a+2bt) - ( at+bt^2)^2 / e^t

og ikke lenger...