Bruk av forholdstesten

[Razzy]

Hei folkens


Jobber med følgende oppgaver:

[tex]$${\left( a \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{7^n}} \over {{n^n}}}} \cr \left( b \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\left( {n + 2} \right)}^n}} \over {n!}}} \cr \left( c \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{n!} \over {\left( {2n} \right)!}}} \cr} $$[/tex]




Løsningsforslag oppg A:

[tex]{\left( a \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{7^n}} \over {{n^n}}}}[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{7^n+1}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{7^n}{n^n}} \cdot \frac{\frac{n^n}{7^n}} {\frac{n^n}{7^n}} $$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{ \cancel {7^n} \cdot 7 \cdot {n^n}} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \cancel {7^n}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{7{n^n}} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}$$[/tex]

Konklusjon: [tex]$${\left( {n + 1} \right)^{n + 1}} > 7{n^n}$$[/tex] vil rekken gå mot 0 når n går mot uendelig. Dette er mindre enn 1 og derfor konvergerer rekken absolutt.

[Vektormannen]

Det ser bra ut frem til konklusjonen der. Det er riktig at grensen blir 0, men argumentasjonen er ikke god nok tror jeg. Det er ikke slik at så lenge nevneren er større enn telleren så blir grensen 0. (Et moteksempel på det er f.eks. [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}[/tex]. Nevneren er alltid større enn telleren, men grensen blir slettes ikke 0, den blir 1.)

Her må du nok jobbe litt videre og vise tydeligere hvorfor grensen blir 0. Et hint: [tex]\frac{7n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{7}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex].

[Razzy]

Det ser bra ut frem til konklusjonen der. Det er riktig at grensen blir 0, men argumentasjonen er ikke god nok tror jeg. Det er ikke slik at så lenge nevneren er større enn telleren så blir grensen 0. (Et moteksempel på det er f.eks. [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}[/tex]. Nevneren er alltid større enn telleren, men grensen blir slettes ikke 0, den blir 1.)

"Før du i det hele tatt benytter et konvergenskriterium, bør du forvisse deg om at [tex]$${\lim }\limits_{k \to \infty } \;{a_k} = 0$$[/tex]. Dersom denne grenseverdien ikke er lik null, eller grenseverdien ikke eksisterer, kan du være sikker på at rekka divergerer."

Kilde (side 1): http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... terier.pdf

Spørsmål til sitatet ovenfor: Mener han hatt da jeg fikk f.eks oppgaven: [tex]$$\left( a \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{7^n}} \over {{n^n}}}} $$[/tex]

Han mener jeg burde ta en kjapp sjekk å teste hva som egentlig skjer? Her kan jeg jo allerede se at nevneren er blir mye større enn telleren når n [tex]$$ \to \infty $$[/tex] - som fører til at grenseverdien er 0. Hva sier dette meg? Jo det sier meg at det finnes ende på rekka, og at den konvergerer.


Tilbake til oppgaven:

Her må du nok jobbe litt videre og vise tydeligere hvorfor grensen blir 0. Et hint: [tex]\frac{7n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{7}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex].

Jeg kom til: [tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{7{n^n}} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}$$[/tex]

Så foreslo du: [tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {7 \over {n + 1}} \cdot {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]


Det eneste jeg tenker er at brøken [tex]$${7 \over {n + 1}}$$[/tex] kommer til å gå veldig for mot null, og da kan det stå hva det vil i resten av uttrykket - for 0*(ett eller annet) = 0.

Var det dette du tenkte på?

[Vektormannen]

Han mener jeg burde ta en kjapp sjekk å teste hva som egentlig skjer? Her kan jeg jo allerede se at nevneren er blir mye større enn telleren når n [tex]$$ \to \infty $$[/tex] - som fører til at grenseverdien er 0. Hva sier dette meg? Jo det sier meg at det finnes ende på rekka, og at den konvergerer.

Hadde det vært så lett så hadde vi jo ikke trengt mange av disse testene som vi har. Det er ikke slik at en rekke konvergerer dersom leddene etter hvert går mot 0. [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] er jo selve kroneksempelet på dette. Den rekken divergerer, selv om leddene går mot 0 når n øker.

Det du derimot kan være sikker på er at hvis leddene i en rekke ikke går mot 0, så kan rekken umulig konvergere. Så du kan spare deg mye arbeid ved å sjekke det først. Hvis grensen av leddene ikke blir 0, så vet du at rekken divergerer. Hvis grensen blir 0 så kan du ikke konkludere med noe, men det er da du kan anvende disse konvergenstestene til å avgjøre det.

Det eneste jeg tenker er at brøken [tex]$${7 \over {n + 1}}$$[/tex] kommer til å gå veldig for mot null, og da kan det stå hva det vil i resten av uttrykket - for 0*(ett eller annet) = 0.

Var det dette du tenkte på?

Det var ikke helt det nei. Hvis resten av uttrykket går mot uendelig så har du et problem. Da trenger ikke grensen bli 0 i det hele tatt. Dette må du sjekke nøyere.

[Razzy]

Det er kanskje en grunn til at det heter konvergenstester og ikke konvergens/divergens-tester.

Det var ikke helt det nei. Hvis resten av uttrykket går mot uendelig så har du et problem. Da trenger ikke grensen bli 0 i det hele tatt. Dette må du sjekke nøyere.

Jeg har altså en side som går raskt mot 0 og en annen side som stiger til det uendelige. Det hørtes ut som et problem ja - tenkte litt feil der.

Uansett: [tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {7 \over {n + 1}} \cdot {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

Hva nå? Et det en mulighet å dra disse fra hverandre og forsøke å bevise at det ene vil være mest dominant på en måte?

Ser ikke noen triks jeg kan bruke her...

[Vektormannen]

Husk at hvis grensen av hver faktor eksisterer så vil grensen av produktet være lik produktet av alle grensene. Som du sier så er grensen av [tex]\frac{7}{n+1}[/tex] lik 0, så den er grei. Nå må du finne ut hva som skjer med [tex]\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex]. Hvis du finner ut at den grensen eksisterer, så er du i mål. Hvis jeg ikke husker feil så løste du en ganske lik grense for rundt en uke siden? (Hint: den involverer tallet e)

[Razzy]

Husk at hvis grensen av hver faktor eksisterer så vil grensen av produktet være lik produktet av alle grensene. Som du sier så er grensen av [tex]\frac{7}{n+1}[/tex] lik 0, så den er grei. Nå må du finne ut hva som skjer med [tex]\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex]. Hvis du finner ut at den grensen eksisterer, så er du i mål. Hvis jeg ikke husker feil så løste du en ganske lik grense for rundt en uke siden? (Hint: den involverer tallet e)

Ok. Jeg undersøker nærmere, og velger å kalle leddet M (siden det ikke er grenseverdien L jeg finner her).

Grunnen til at jeg gjør dette er altså fordi jeg vet oppførselen til [tex]\frac{7}{n+1}[/tex] men [tex]\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex] kan jeg ikke forutsi og må derfor undersøke nærmere:


[tex]$$M = {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

[tex]$$\log M = \log {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

[tex]$$\log M = n\log {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n \over {n + 1}}} \right)$$[/tex]

[tex]$$\log M = \log {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{n}{n+1} \right )}{\frac{1}{n}}$$[/tex]

På forrige post foreslo Nebu L'Hopitals regel her, men den fungerer kun for [tex]$${0 \over 0}\;og\;{\infty \over \infty }$$[/tex].

Såvidt jeg kan se så går teller mot uendelig og nevner mot null...

[Vektormannen]

Vi har at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1[/tex]. Med på det? Og log(1) = 0, er det ikke?

[Razzy]

Vi har at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1[/tex]. Med på det? Og log(1) = 0, er det ikke?

Den er jeg med på:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over {n + 1}}$$[/tex]

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}$$[/tex]

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {1 + 0}} = 1$$[/tex]
------------------------------------


Tilbake til oppgaven:

[tex]$$\log M = n\log {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n \over {n + 1}}} \right)$$[/tex]

[tex]$$\log M = n\log \left( 1 \right)$$[/tex]

[tex]$$\log M = n \cdot 0 = 0$$[/tex]

(trenger altså ikke bry oss om den ukjente n her)


Kommer ikke helt til en konklusjon her

Hva har jeg egentlig vist nå? Jo at: [tex]$$M = {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex] er en ... grense fordi [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n \over {n + 1}}} \right) = 1$$[/tex]. Tidligere skrev du:

"Det du derimot kan være sikker på er at hvis leddene i en rekke ikke går mot 0, så kan rekken umulig konvergere."


Nå kan jeg konkludere med at siden [tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {7 \over {n + 1}}\cdot{\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

[tex]$$\left( a \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{7^n}} \over {{n^n}}}} $$[/tex]

[Vektormannen]

Vi har at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1[/tex]. Med på det? Og log(1) = 0, er det ikke?

Den er jeg med på:

Men da kan du jo bruke L'Hopital da, slik du hadde tenkt? Det du skriver under her blir ikke riktig. Du kan ikke ta n utenfor grenseverdien. Du var på riktig vei når du ville bruke L'Hopital!

[Razzy]

Løsningsforslag oppg A:

[tex]{\left\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{7^n}} \over {{n^n}}}}[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{7^n+1}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{7^n}{n^n}} \cdot \frac{\frac{n^n}{7^n}} {\frac{n^n}{7^n}} $$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{ \cancel {7^n} \cdot 7 \cdot {n^n}} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \cancel {7^n}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{7{n^n}} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {7 \over {n + 1}} \cdot {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

Her stopper jeg opp litt, jeg vet at: [tex]\frac{7}{n+1}=0[/tex], men hva skjer med leddet: [tex]\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex].

Vi undersøker:

[tex]$$M = {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

[tex]$$\log M = \log {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{n \over {n + 1}}} \right)^n}$$[/tex]

[tex]$$\log M = n\log {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n \over {n + 1}}} \right)$$[/tex]

[tex]$$\log M = \log {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{n}{n+1} \right )}{\frac{1}{n}}$$[/tex]


Skjønner ikke helt hvordan jeg kan bruke L'Hopital når telleren går mot [tex]\infty[/tex] og nevneren går mot 0?

En annen ting, er veldig interessert i å bli kvitt disse logaritmene på hver side, og tror ikke det jeg gjør nedenfor er riktig:

[tex]e^{log M} = e^{\log {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{n}{n+1} \right )}{\frac{1}{n}}}[/tex]

[tex]$$M = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{n}{n+1} \right )}{\frac{1}{n}}$$[/tex]


Kunne du puffet meg litt her: [tex]$$\log M = \log {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{n}{n+1} \right )}{\frac{1}{n}}$$[/tex] slik at jeg får brukt L'Hopital?

[Vektormannen]

Hvordan får du [tex]n \log \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}[/tex] til å bli [tex]\log \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex]?

Her får vi [tex]\log M = \lim_{n \to \infty} n \log \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log \frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex], og den kan du bruke L'Hopital på.

[Razzy]

Hvordan får du [tex]n \log \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}[/tex] til å bli [tex]\log \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex]?

Fordi: [tex]n\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}}[/tex]

Jeg skal slutte å grave en grøft her, gjorde det værre for meg selv med måten jeg førte på der oppe.

Her får vi [tex]\log M = \lim_{n \to \infty} n \log \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log \frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex], og den kan du bruke L'Hopital på.

[tex]$$\log M = {\lim }\limits_{n \to \infty } n\log {n \over {n + 1}}$$[/tex]

Sånn skulle jeg ført det ja.


[tex]\log M = \lim_{n \to \infty} \frac{\log \frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex]

Hvorfor kan jeg bruke L'Hopital her? Det er ikke:

[tex]$${0 \over 0}$$[/tex] eller [tex]$${\infty \over \infty }$$[/tex] ??

Ganske mye jobb med denne oppgaven egentlig...

Forsøkte meg på derivasjonen - ingen havn i sikte. Kan ikke skjønne at den skal være så vanskelig!!

[Vektormannen]

Hvordan får du [tex]n \log \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}[/tex] til å bli [tex]\log \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex]?

Fordi: [tex]n\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}}[/tex]

Det er det at du trekker n innenfor logaritmen uten videre jeg tenker på. Det er ikke lov.

[tex]\log M = \lim_{n \to \infty} \frac{\log \frac{n}{n+1}}{\frac{1}{n}[/tex]

Hvorfor kan jeg bruke L'Hopital her? Det er ikke:

[tex]$${0 \over 0}$$[/tex] eller [tex]$${\infty \over \infty }$$[/tex] ??

Jo det er det. n/(n+1) går mot 1, og log(1) = 0. Dermed går telleren mot 0, og nevneren går også mot 0. Derivasjonen av telleren blir som følger (jeg benytter meg av at [tex]\frac{n}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}[/tex] for å gjøre det lettere):

[tex]\left(\log \frac{n}{n+1}\right)^\prime = \frac{n+1}{n} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^\prime = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{n(n+1)}[/tex]. Den deriverte av nevneren antar jeg er grei.

[Razzy]

Takk Vektormannen, jeg kommer med svar så snart jeg har jobbet litt mer med den.