Spørsmål angående følge

[Razzy]

Hei

Har følgende følge (skal finne ut om den konvergerer/divergerer):

[tex]$$\left\{ {\sqrt[n]{\frac{1}{2}} } \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]


Når jeg vet at: [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\sqrt[n]{\frac{1}{2}} } \right\}_{n = 1}^\infty \ne 0$$[/tex]

Den kan umulig konvergere? Den er nødt til å divergere?

[Vektormannen]

Nå tror jeg du blander rekker og følger her?

[Razzy]

Nå tror jeg du blander rekker og følger her?

Ja jeg er klar over at dette var litt på kanten... :p

Så den regelen går ikke her i det hele tatt?

Jeg får prøve meg på forholdstesten istedet takk Vektormannen

[Vektormannen]

Hvilken forholdstest sikter du til da?

Husk at en følge er bare en numerert sekvens av tall. Hvis denne sekvensen er sånn at elementene nærmer seg et bestemt tall a mer og mer når n øker (og man kan komme så nært man vil det tallet ved å velge n stor nok), så sier man at følgen konvergerer mot a.

Det du skal finne her er altså ikke noe annet enn grenseverdien [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}}[/tex], ikke sant? Hvis den eksisterer så er det jo nettopp den følgen vil konvergere mot.

Så den regelen går ikke her i det hele tatt?

Hvorfor syns du at den bør gjelde? Det er en regel som har med konvergens av rekker å gjøre. En rekke er en sum av uendelig mange ledd. En sum kan bare konvergere hvis leddene etter hvert går mot 0. Hvis ikke vil jo hvert ledd bidra til å øke summen i det uendelige.

[Razzy]

Hvilken forholdstest sikter du til da?

Husk at en følge er bare en numerert sekvens av tall. Hvis denne sekvensen er sånn at elementene nærmer seg et bestemt tall a mer og mer når n øker (og man kan komme så nært man vil det tallet ved å velge n stor nok), så sier man at følgen konvergerer mot a.

Det du skal finne her er altså ikke noe annet enn grenseverdien [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}}[/tex], ikke sant? Hvis den eksisterer så er det jo nettopp den følgen vil konvergere mot.

Oi...

Har akkurat løst: [tex]$$\left\{ {\sqrt[n]{\frac{1}{2}} } \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex] ved å løse:

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{{\frac{1}{n+1}}}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{n}}} $$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow L=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}} = 1$$[/tex]

Når [tex]L=1[/tex] gir ikke dette kriteriet noen avgjørelse.


Jeg har dummet meg ut jeg?


årh... Hvordan løser man disse følgene igjen da?

Jeg kan evt. definere en funksjon: [tex]$$f\left( x \right) = \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{\frac{1}{2}} $$[/tex]

også... nei Vektormannen nå surra det til igjen,

[Razzy]

Hva med dette:

[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1^{\frac{1}{n}}}{2^{\frac{1}{n}}[/tex] [tex]={1 \over {{2^0}}} = 1[/tex]

Tallfølgen konvergerer mot 1

[Vektormannen]

Det er nok heller veien å gå ja. Hvis du kan finne en eventuell grense av leddene i følgen så har du jo både vist at den konvergerer, og hva den konvergerer mot . (Skal jeg være pirkete så må du begrunne utregningen med at [tex]2^x[/tex] er kontinuerlig i [tex]x = 0[/tex]. Det er jo det du har brukt i [tex]\lim_{n \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}} = 2^0 = 1[/tex].)

[Razzy]

Det er nok heller veien å gå ja. Hvis du kan finne en eventuell grense av leddene i følgen så har du jo både vist at den konvergerer, og hva den konvergerer mot . (Skal jeg være pirkete så må du begrunne utregningen med at [tex]2^x[/tex] er kontinuerlig i [tex]x = 0[/tex]. Det er jo det du har brukt i [tex]\lim_{n \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}} = 2^0 = 1[/tex].)

Takk Vektormannen =) Nå ble det orden i sysakene her.

Tregner jeg bare skrive [tex] 2^x[/tex] er kontinuerlig i [tex]x=0[/tex] ? Hvorfor må jeg begrunne det egentlig?

Alle vet jo at 2^0 blir 1

[Vektormannen]

Det var ikke det jeg mente, det er overgangen fra venstre side i ligningen til høyreside i ligningen jeg tenker på. Det er ikke automatikk i at du bare kan si at grensen av hele potensen er det samme som grunntallet opphøyd i grensen av eksponenten. Mer generelt er dette et tilfelle av en grense [tex]\lim_{x \to \infty} f(g(x))[/tex], der [tex]f(x) = 2^x[/tex] og [tex]g(x) = \frac{1}{x}[/tex]. En slik grense er kun det samme som [tex]f(\lim_{x \to \infty} g(x))[/tex] hvis [tex]\lim_{x \to \infty} g(x)[/tex] ekisterer og f.eks. er lik [tex]b[/tex], og [tex]f[/tex] er kontinuerlig i [tex]b[/tex].

Men som sagt, dette er pirk. Her virker det jo ganske 'selvsagt' at det er sånn, og du trenger kanskje ikke nevne det eksplisitt, på lik linje med at du f.eks. deler to grenseverdier på hverandre uten å nevne at hver av de eksisterer og så videre.

[Razzy]

Ok =)