Potenser og brøker

[mellet]

Oppgavetekst:
Finn uttrykket for X når:
4y^0,2/rota(x) = 0,5x/y^0,4

Dette er hva jeg prøvde:
4y^0,2 * y^0,4 = 0,5x * x^0,5
4y^(0,2+0,4) = 0,5x^(1+0,5)
4y^0,6 = 0,5x^1,5
8y^0,6 = x^1,5
1,5rota(8y^0,6) = x

Satte prøve på dette. Men får at dette er riktig.
Noen som ser hvor jeg har gjort feil ?

[2357]

Du finner at det er riktig, men lurer på hva du har gjort galt? Nå forstår jeg ikke helt.

Du kan pynte litt ved å bruke

[tex]\sqrt[1.5]{8y^{0.6}} = \left(2^3y^{\frac{3}{5}} \right)^{\frac{2}{3}}[/tex]

[mellet]

Mente å si at det jeg fant ut ikke var riktig.

Etter at jeg satte prøve på om 1,5rota(8y^0,6) = x er et riktig uttrykk for x, så får jeg at dette ikke kan stemme.

[Nebuchadnezzar]

En essensiell del av det å være matematikker er å være lat.
Skal du regne ut noe stygt og vanskelig, gjør regningen så lett som
mulig for deg selv. En teknikk jeg benytter meg mye av er å innføre nye variabler

Ta for eksempel utgangspunkt i uttrykket ditt

[tex]\frac{4 y^{0.2} }{\sqrt{x}} \, = \, \frac{0.5x}{y^{0.4}}[/tex]

Fordi jeg hater desimaltall og er lat av natur innfører jeg[tex] a=0.2[/tex] da får jeg

[tex]\frac{4 y^a }{x^{1/2}} \, = \, \frac{1}{2} \frac{x}{y^{2a}}[/tex]

Så antar jeg at både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] er ulik null, og ganger likningen med

[tex]2 \cdot x^{1/2} \cdot y^{2a} [/tex]

da fås

[tex]8 y^a \cdot y^{2a} \,=\, x \cdot x^{1/2}[/tex]

Slår vi sammen leddene fås

[tex]8 y^{3a} \,=\, x^{3/2}[/tex]

Så tar opphøyer vi begge sider i [tex]2/3[/tex] (slik at vi får [tex]x[/tex] alene) og får da

[tex]x \,=\,\left(8 y^{3a}\right)^{2/3}[/tex]

Legg så merke til at [tex](2^3)^{2/3} \,=\, 2^{3 \cdot \frac{2}{3}}\,=\,4[/tex] videre har vi på samme viset

[tex]\left( y^{3a} \right)^{2/3} \,=\, y^{3a \cdot 2/3} \,=\, y^{2a}[/tex]

Slik at vi får endelig

[tex]x \,=\, 4 y^{2a} \,=\, 4 y^{0.4}[/tex]

[2357]

Etter at jeg satte prøve på om 1,5rota(8y^0,6) = x er et riktig uttrykk for x, så får jeg at dette ikke kan stemme.

Men det er altså riktig. Legg merke til at Nebu ikke har gjort noe annerledes enn deg.

Vi setter prøve:

V.S: [tex]\frac{4y^{0.2}}{\sqrt{x}}= \frac{4y^{0.2}}{\sqrt{4y^{0.4}}}= \frac{4y^{0.2}}{2y^{0.2}} = 2[/tex]

H.S: [tex]\frac{0.5x}{y^{0.4}} = \frac{0.5 \cdot 4y^{0.4}}{y^{0.4}} = 2[/tex]