Logaritmisk differensiering

[millionaire]

Bruk logaritmisk differensiering til å finne f'(x) / f(x) når:

f(x)= ((x+1)/(x-1))^(1/3)

Her er det fint om det vises steg for steg siden jeg ikke helt forstår hva som menes..

Fasiten sier = -2/(3(x²-1))

[Nebuchadnezzar]

Ta logaritmen på begge sider, bruk at [tex]\ln(a^b) = a\ln(b)[/tex] og deriver begge sider.

[2357]

Bruk at [tex]\left(\ln \left(f(x) \right)\right)^\prime = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}[/tex]

[millionaire]

Virker som man bare kan derivere og ikke tenke ln her...? forstår ikke hvorfor denne ln er med. fikk riktig svar nå ved bare å derivere...

[Nebuchadnezzar]

Poenget er bare at på grunn av hvordan oppgaven er satt opp så er det lettere å gjøre det slik.

I et nøtteskall: Du har en oppgave som er vanskelig å derivere, du tar logaritmen av oppgaven. OI DEN BLE LETTERE Å DERIVERE. Du deriverer oppgaven, også ganger du med [tex]f(x)[/tex].

Skal du finne [tex]f^\prime(x)/f(x)[/tex] er det enda lurere å ta logaritmen også derivere, da på grunn av kjerneregelen, er det dette du ender opp med på venstresiden. Noe både jeg og 2357 har vist.

Faktisk sier oppgaven at du skal gjøre det på denne måten. Ogpå en eventuel prøve ville du ikke sanke mye poeng om oppgaven sier b og du gjør a.

[tex]f(x) \,=\, \left( \frac{x+1}{x-1}\right)^{1/3} [/tex]

Tar logaritmen på begge sider

[tex]\ln\bigl(f(x)\bigr) = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{x+1}{x-1}\right)[/tex]

Deriverer begge sider via kjerneregelel

[tex]\frac{f^\prime(x)}{f(x)} = \frac{1}{3}\left( \frac{x+1}{x-1}\right)^\prime/\left[ \frac{x+1}{x-1}\right][/tex]

Deriverer teller via brøkreglel / kvotientregelen

[tex]\frac{f^\prime(x)}{f(x)} = \frac{1}{3}\left( -\frac{2}{(x-1)^2}\right)/\left[ \frac{+1}{x-1}\right] = -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^2-1}[/tex]

Som var det vi ønsket å vise. Mellomregningene får du fylle ut selv.

[millionaire]

Jeg prøver bare å forstå.....