Kompleks femtegradslikning

[adrianhs]

Hei. Jeg har en oppgave hvor jeg skal finne alle komplekse løsninger til likningen:

z^5 + 16z = 0

Her er hvordan jeg har gått fram.
Jeg ser at z = 0 er en løsning og deler likningen på z og får z^4 = - 16.

Deretter finner jeg fjerderøttene til -16 som er.
w0 = 2e^i*pi/4
w1 = 2e^i*3pi/4
w2 = 2e^i*5pi/4
w3 = 2e^i*7pi/4

Er dette gjort på riktig måte og har jeg funnet alle løsningene?

Hadde vært kjempe fint med en oppklaring og jeg takker for alle svar.
Hilsen Adrian

[wingeer]

Ser riktig ut dette.

Endring:
I lys av svaret under føler jeg det er på sin plass å kommentere at jeg antok TS visste hvordan man kom frem dette og kun spurte om det var riktig. For fremgangsmåte se posten under.

[mstud]

Hei. Jeg har en oppgave hvor jeg skal finne alle komplekse løsninger til likningen:

z^5 + 16z = 0

Her er hvordan jeg har gått fram.
Jeg ser at z = 0 er en løsning og deler likningen på z og får z^4 = - 16.

Deretter finner jeg fjerderøttene til -16 som er.
w0 = 2e^i*pi/4
w1 = 2e^i*3pi/4
w2 = 2e^i*5pi/4
w3 = 2e^i*7pi/4

Er dette gjort på riktig måte og har jeg funnet alle løsningene?

Hadde vært kjempe fint med en oppklaring og jeg takker for alle svar.
Hilsen Adrian

Det er èn måte å gjøre det på...

Alterativt kunne man skrive z^4 på polarform, bruke [tex](z^4)^{\frac14}[/tex] på denne (inkluderer "de Moivre's teorem" når man opphøyer[tex] (cos (vinkel+k2\pi)+i sin (vinkel+k2\pi)[/tex]i noe kan man dele [tex](vinkel+k2\pi)[/tex] på det man opphøyer i) , det gir samme svar:

[tex]z^4=-16=16(cos \pi + i sin \pi)[/tex], videre: [tex](z^4)^{\frac14}=(16(cos \pi + i sin \pi))^{\frac14}=2(cos \pi + i sin \pi)^{\frac14}=2 (cos \frac{\pi}4 + i sin \frac{\pi}4 )[/tex].

Alltid greit å ha en måte nr. 2 å kontrollere svarene sine på.

Ellers ville jeg ha ført opp løsningene slik til slutt:
[tex]z=\left{ {0 \\ w_0=... \\ w_1=... \\ w_2 =... \\ w_3=...}[/tex]

(Hvis det var på en eksamen e.l. , har du kanskje ført litt kort fremgangsmåte)

Ellers bra!

[adrianhs]

Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

[wingeer]

Ikke feil. Det er flere måter å gjøre det på. Noen litt mer elegante enn andre.

[mstud]

Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

Han løser ikke samme ligning som deg, men:

[tex]z^5+16 \bar{z}=0[/tex] , der [tex]\bar{z}[/tex] er den komplementære til z.

[Aleks855]

Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

Han løser ikke samme ligning som deg, men:

[tex]z^5+16 \bar{z}=0[/tex] , der [tex]\bar{z}[/tex] er den komplementære til z.

Er vel snakk om kompleks konjugert. Er det det samme som komplementær?

[mstud]

Mente kompleks konjugert, men ser at det ikke var det jeg skrev...