Lagrange

[Enigmaa]

Hei, jeg har satt meg fast på en oppgave med Lagrange. Eller for å si det sånn - mine svar er ikke like som fasiten så jeg kan jo si at fasiten tar feil eller kanskje noen kan motbevise det?

Her er informasjonen som er gitt i oppgaven, jeg gir infoen som står ved starten av oppgaven og så det spørsmålet jeg sitter fast på:

Kostnadsfunksjon til en bedrift er gitt ved C(z)=z^2+35z+144
Her er z antall produserte enheter av en vare.

Bedriften selger varer på to ulike markeder, marked A og marked B. Kall etterspørselen etter varen på de to markedene for hhv. x og y.

Sammenhengen mellom etterspørselen x og prisen p på marked A er p=150-0.5x Prisen q på marked B er q=140
Kostnadsfunksjonen er K(x,y)=(x+y)^2+35(x+y)+144

Oppgaven lyder;
"Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B. Hvor mye må bedriften selge på de to markedene dersom den ønsker å maksimere overskuddet. BENYTT lagrangemultiplikatorer!"

Fasit svar er x = 32.9268 og y=10.9756

Om noen kan vise meg utregningen på dette hadde jeg satt stor pris på det!

[Solar Plexsus]

Inntekten I(x,y) av salget blir

I(x,y) = x(150 - 0,5x) + 140y = -0,5x[sup]2[/sup] + 150x + 140y.

Dermed blir overskuddet

O(x,y)
= I(x,y) - K(x,y)
= -0,5x[sup]2[/sup] + 150x + 140y - (x[sup]2[/sup] + 2xy + y[sup]2[/sup] + 35x + 35y + 144)
= -1,5x[sup]2[/sup] - 2xy - y[sup]2[/sup] + 115x + 105y - 144.

Anvender du nå Lagrangemultiplikatorer, vil du (forhåpentligvis) komme fram til at

x = 1350/41 og y = 450/41.

[Enigmaa]

Så langt har jeg kommet også;

O(x,y)
= I(x,y) - K(x,y)
= -0,5x2 + 150x + 140y - (x2 + 2xy + y2 + 35x + 35y + 144)
= -1,5x2 - 2xy - y2 + 115x + 105y - 144.

Men jeg tror min bibetingelse som jeg skal sette opp for "Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B. Hvor mye må bedriften selge på de to markedene dersom den ønsker å maksimere overskuddet." er feil.....

Jeg har prøvd meg med x=3y og det blir helt feil. Kan du fortelle meg hva for en bibetingelse du bruker? Lagrange metoden er enkel så lenge jeg har bibetingelsen riktig.

Takk for hjelpen så langt!

[Solar Plexsus]

Bibetingelsen kan utledes av utsagnet

"Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B".

Siden x og y er hhv. antall enheter som blir solgt på marked A og marked B, innebærer dette utsagnet at x=3y. En indikasjon på dette er den riktige bibetingelsen, er fasitsvaret x = 32.9268 og y=10.9756 som gir x/y=3. Så bibetingelsen blir

P(x,y) = x - 3y = 0.

Vha. av Lagrangemultiplikatorer får vi likningene

(1) [part][/part]O/[part][/part]x = -3x - 2y + 115 = λ = [part][/part]P/[part][/part]x,

(2) [part][/part]O/[part][/part]y = -2x - 2y + 105 = -3λ = [part][/part]P/[part][/part]y.

Multipliserer vi (1) med -3 og (2) med -1, blir resultatet

(3) 9x + 6y - 345 = -3λ

(4) 2x + 2y - 105 = 3λ


Summerer vi (3) og (4), får vi

11x + 8y - 450 = 0

11[sub]*[/sub](3y) + 8y = 450 (Bruker bibetingelsen x=3y)

33y + 8y = 450

41y = 450

y = 450/41 ≈ 10,9756

x = 3y = 3[sub]*[/sub]450/41 = 1350/41 ≈32,9268.

[Enigmaa]

Så enkelt var det ja - jeg hadde en feil utregning..og da ble ikke svaret riktig.

TUSEN TAKK for hjelpen!!