vise lukket intervall for D_f gir lukket intervall for V_f

[mstud]

Hei!

Har i oppgave:

1. å vise at for en kontinuerlig funksj. f definert på det lukkede intervallet [tex]D_f=[a,b][/tex], så må verdimengden [tex]V_f[/tex] (mengden av verdiene f kan ta) være et lukket intervall.

2. svare på hvilke muligheter det er for [tex]V_f[/tex], når [tex]D_f=(a,b)[/tex].

Hvordan skal jeg bevise det? (Er enig i at det kan være tilfelle, men ser ikke hvordan jeg skal sette opp et bevis for det)

[Vektormannen]

1. Ekstremalverdisetningen!

2. Hva har du tenkt ut her?

[mstud]

Da blir det?

1.

Ekstremalverditeoremet (Max-Min Th.) gir at for en funksj. f der [tex]x \in [a,b][/tex], eksisterer det to verdier c og d i [a,b] slik at [tex]\forall x \in [a,b][/tex] så er: [tex]f(c)\leq f(x)\leq f(d)[/tex], slik at: [tex]V_f=[f(c),f(d)][/tex] Q.E.D.

Stemmer det?

2.

Hva jeg har tenkt her... :

Vi kan i hvert fall ha åpent intervall for verdiene.

Eksempler:
Polynomer er definert [tex]\forall x\in (-\inf,\inf)[/tex], og verdiene kan ligge i
[tex][0,\inf)[/tex] for polynomer med positive fortegn på alle ledd, og i [tex](-\inf , 0][/tex] for polynomer med negative fortegn på alle ledd
, eller andre intervall for de med blandede fortegn på leddene.

Altså funker det også med halvåpne intervaller.

Lukkede intervaller er jeg ikke sikker på, men jeg vil anta at når verdiene kan ligge i halvåpne intervaller, kan de også ligge lukkede.

Imidlertid kommer jeg ikke på noe intuitivt bedre resonnement enn dette...

[Vektormannen]

1) Det var hvertfall noe sånt jeg tenkte på. Hvis noen mener det må mer til så får de si i fra

2) Jeg er ikke enig i det du sier om polynomer. Hva med polynomet [tex]f(x) = x^3 + x[/tex]? Det kan ha alle verdier, men det har positivt fortegn på alle ledd. Det vil stemme hvis du i tillegg tar med at eksponentene er partall i alle ledd. Men ja, halvåpne intervaller blir da mulig. Når det gjelder lukkede intervall: Se på funksjonen f(x) = 1.

[mstud]

1) Det var hvertfall noe sånt jeg tenkte på. Hvis noen mener det må mer til så får de si i fra

2) Jeg er ikke enig i det du sier om polynomer. Hva med polynomet [tex]f(x) = x^3 + x[/tex]? Det kan ha alle verdier, men det har positivt fortegn på alle ledd. Det vil stemme hvis du i tillegg tar med at eksponentene er partall i alle ledd. Men ja, halvåpne intervaller blir da mulig. Når det gjelder lukkede intervall: Se på funksjonen f(x) = 1.

1)

2) Jeg er ikke enig i det jeg heller Måtte hatt minst en begrensing til eller kanskje heller brukt ett spesifikt eksempel.

f(x)=1 def. [tex]\forall x[/tex], [tex]V_f=[1][/tex], right?

[Vektormannen]

Ja, det er like greit å komme med et eksempel.

Når dette er sagt så ser jeg at oppgaven formulerer seg noe annerledes. Når den sier at [tex]D_f = (a,b)[/tex] så vil ikke [tex]D_f = \mathbb{R} = (-\infty, \infty)[/tex] være en gyldig definisjonsmengde (hvorfor?). Dette vil ikke ha noe å si for argumentasjonen din egentlig, for hvis f er en polynomfunksjon med et topp- eller bunnpunkt i (a,b), har du et eksempel på at man kan ha halvåpne verdimengder.

Når det gjelder eksempelet ditt til slutt så stemmer det ja; verdimengden blir [tex]V_f = [1,1]= \{1\}[/tex]. (Å skrive [1] er ikke standard notasjon. Mengden med bare tallet 1 skrives {1}.) Et annet eksempel vil være en av de trigonometriske funksjonene. Hvis man tar et åpent intervall som inneholder både [tex]\pi/2[/tex] og [tex]-\pi/2[/tex] (for eksempel) så vil jo verdimengden til [tex]f(x) = \sin x[/tex] bli [-1,1].

[wingeer]

Angående 1 er dette igrunn tilstrekkelig.
Det følger også siden [a,b] er kompakt (For R er dette det samme som lukket og begrenset) og siden f er kontinuerlig må f([a,b]) være kompakt <=> f([a,b]) er begrenset og lukket. Men dette blir jo litt mer topologi enn nødvendig.
Når det gjelder 2) er det litt usikkert om man skal bevise hva som er mulig?

[mstud]

Ja, det er like greit å komme med et eksempel.

Når dette er sagt så ser jeg at oppgaven formulerer seg noe annerledes. Når den sier at [tex]D_f = (a,b)[/tex] så vil ikke [tex]D_f = \mathbb{R} = (-\infty, \infty)[/tex] være en gyldig definisjonsmengde (hvorfor?). Dette vil ikke ha noe å si for argumentasjonen din egentlig, for hvis f er en polynomfunksjon med et topp- eller bunnpunkt i (a,b), har du et eksempel på at man kan ha halvåpne verdimengder.

Når det gjelder eksempelet ditt til slutt så stemmer det ja; verdimengden blir [tex]V_f = [1,1]= \{1\}[/tex]. (Å skrive [1] er ikke standard notasjon. Mengden med bare tallet 1 skrives {1}.) Et annet eksempel vil være en av de trigonometriske funksjonene. Hvis man tar et åpent intervall som inneholder både [tex]\pi/2[/tex] og [tex]-\pi/2[/tex] (for eksempel) så vil jo verdimengden til [tex]f(x) = \sin x[/tex] bli [-1,1].

Ja, a & b skal vel være heltall...

Var ikke helt sikker hvordan jeg skulle skrive bare 1 som lukket intervall [1] eller [1,1] syntes jeg egentlig ikke helt ga mening, men intervallet f.o.m. 1 t.om 1 går jo an, ja ... pleier bruke {1} til vanlig.

sin x i et åpent intervall hadde jo også vært grei å bruke, ja.

Takk for hjelpen!

[Gustav]

Da blir det?

1.

Ekstremalverditeoremet (Max-Min Th.) gir at for en funksj. f der [tex]x \in [a,b][/tex], eksisterer det to verdier c og d i [a,b] slik at [tex]\forall x \in [a,b][/tex] så er: [tex]f(c)\leq f(x)\leq f(d)[/tex], slik at: [tex]V_f=[f(c),f(d)][/tex] Q.E.D.

Stemmer det?

Det er ikke feil, men det er vel ikke helt tilstrekkelig. Slik jeg ser det behøver du i tillegg å vise at f(x) tar alle verdier mellom f(c) og f(d) (først da vil verdimengden(bildet av f) være et intervall).
Du kan f.eks. bruke mellomverditeoremet(eller hva det nå heter på norsk) (altså intermediate value theorem)

EDIT: