Produkt av tre tall. Kontroller meg!

[Zeph]

Oppgave:

Produktet av tre positive hele tall som følger etter hverandre, er 60.

Kall det minste tallet X, og vis at X^3 + 3X^2 + 2X - 60 = 0




Jeg har gjort følgende:


Setter opp utrykket for produktet:

1: X x (X+1) x (X+2) = 60
2: X ( X^2 + 2^X + X + 2 ) = 60
3: X^3 + 3X^2 + 2X - 60 = 0


Er det hele så simpelt? Jeg har prøvd en stund nå å løse likning 1 med hensyn på X.


Liten x skal representere gangetegn.

[Vektormannen]

Det hele er så simpelt ja. Det som nok er poenget er at du skal bruke den ligningen du kom frem til (altså 3) til å finne X (polynomdivisjon osv.)

Men siden tallet 60 er så lavt så er det like enkelt å faktorisere 60 og se etter etterfølgende faktorer. Vi har at [tex]60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5[/tex]. Jeg overlater det til deg å finne x vha. det.

[Zeph]

Jeg gjorde det i starten Vektormannen, og kom frem til at x=3. Problemet var at jeg trodde jeg skulle løse den oppsatte likningen, altså ligning 1 med hensyn på x. Derfor var det et problem når jeg fikk gal verdi av X.

Tenkte at jeg skulle regne meg frem til det på fair vis, og ikke bruke enkle metoder:) Trodde det var litt av poenget med dette faget


Men takk for konfirmering

[2357]

Tenkte at jeg skulle regne meg frem til det på fair vis, og ikke bruke enkle metoder:) Trodde det var litt av poenget med dette faget

"Nå må dere tenke som matematikere. Det vil si at dere skal gjette."

- Jan Christophersen.

[Nebuchadnezzar]

Vi skal løse likningen

[tex]x(x+1)(x+2) = 60 [/tex]

uten tipping. Innfør [tex]y = x + 1[/tex], da fås

[tex]y^3 - y - 60 = 0[/tex]

Legg merke til at vi kan faktorisere [tex]a^3-b^3[/tex], og [tex]60[/tex] er nesten [tex]64=4^3[/tex].
Er vi litt lure skriver vi [tex]-60 = -64 + 4[/tex], da fås

[tex](y^3 - 4^3) - y + 4 = 0[/tex]

[tex](y-4)(y^2+4y + 16) - (y-4) = 0[/tex]

[tex](y-4)([y^2 + 4y + 16] - 1 ) = 0[/tex]

Setter vi tilbake [tex]x[/tex] altså at ([tex]y=x-1 \,\Rightarrow\, x = y+1[/tex]), da får vi

[tex](x-3)(x^2 + 6x + 20) = 0[/tex]

Siden [tex]x^2 + 6x + 20 = (x+3)^2 + 11>0[/tex] ser vi at eneste roten er når [tex]x=3[/tex]. Og vi er ferdige.

Trikset her er at alle tredjegradspolynomer kan skrives på formen

[tex]a x^3 + b x^2 + c x + d = 0[/tex]

Dersom vi innfører [tex]y = x - b/3a[/tex] kan omformes likningen til

[tex]y^3 + 3py + 2q = 0[/tex]

Som er enklere å løse, basert på hvor store [tex]p[/tex] og [tex]q[/tex] er i forhold til hverandre er det ulike måter å faktorisere / løse likningen på. En vei er komplekse tall, en annen er trigonometri.

Står litt mer på wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function og det anbefales å titte litt nærmere på Cardano artig skrue.