[tex]x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=3^n[/tex]
Finn den partikulære løsningen.
Det blir bare et fordømt rot når jeg prøver. Hvis noen kan gå igjennom denne steg for steg vil jeg bli rørt til tårer, nesten.
Sliter med differensligninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du løser vel den homogene ligningen først:
[tex]x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=0[/tex].
Ansatz: [tex]x_n=k^n[/tex] for en foreløpig ukjent konstant k.
Innsatt i ligningen fås karakteristisk ligning [tex](k-3)^2=k^2-6k+9=0[/tex]. Altså får vi en dobbelrot.
Homogen løsning blir [tex]x_n=A3^n+Bn3^n[/tex].
Siden høyresida på den opprinnelige ligningen også er på formen [tex]3^n[/tex] er det natrurlig å gjette på at partikulærløsningen er på formen [tex]x_n=Cn^23^n[/tex]. Konstanten C bestemmes ved innsetting. Vi får at
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]
og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].
Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså
[tex]x_n=A3^n+Bn3^n+\frac{1}{18}n^23^n[/tex] for vilkårlige konstanter A og B bestemt av initialbetingelser.
[tex]x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=0[/tex].
Ansatz: [tex]x_n=k^n[/tex] for en foreløpig ukjent konstant k.
Innsatt i ligningen fås karakteristisk ligning [tex](k-3)^2=k^2-6k+9=0[/tex]. Altså får vi en dobbelrot.
Homogen løsning blir [tex]x_n=A3^n+Bn3^n[/tex].
Siden høyresida på den opprinnelige ligningen også er på formen [tex]3^n[/tex] er det natrurlig å gjette på at partikulærløsningen er på formen [tex]x_n=Cn^23^n[/tex]. Konstanten C bestemmes ved innsetting. Vi får at
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]
og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].
Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså
[tex]x_n=A3^n+Bn3^n+\frac{1}{18}n^23^n[/tex] for vilkårlige konstanter A og B bestemt av initialbetingelser.
Det er dette leddet jeg sliter med. Hvordan skal jeg forholde meg til [tex]3^{n+2}[/tex] osv?plutarco skrev:
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]
og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].
Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså
[tex]3^{n+2}=3^n\cdot 3^2=9\cdot 3^n[/tex]asdf skrev:Det er dette leddet jeg sliter med. Hvordan skal jeg forholde meg til [tex]3^{n+2}[/tex] osv?plutarco skrev:
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]
og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].
Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså
(Del hele ligningen på [tex]3^n[/tex])
Æsj, jeg vet ikke om jeg skjønner dette allikevel.
Hvorfor det? Altså: Hvor kommer n^2 fra?plutarco skrev: Siden høyresida på den opprinnelige ligningen også er på formen [tex]3^n[/tex] er det natrurlig å gjette på at partikulærløsningen er på formen [tex]x_n=Cn^23^n[/tex]
Når du har såkalt repeterte røtter i den karakteristiske ligningen er det en tommelfingerregel som sier at du, for å få to uavhengige løsninger, "jekker" opp den ene løsningen ved å multiplisere den med variabelen n. (dette er analogt for differensialligninger). Når i tillegg høyresida av ligningen er på samme form som de homogene løsningene "jekker" man opp partikulærløsningen enda et hakk ved å multiplisere med en ekstra n.
Dette er veldig vage løsningsteknikker som man etter å ha jobbet endel med differens. og differensialligninger lærer seg til å se. Det er ikke i utgangspunktet åpenbart at dette gir riktige løsninger, men etterhvert blir man vant til å se dette. Uansett kan du ved innsetting se at løsningene stemmer i etterkant.
Dette er veldig vage løsningsteknikker som man etter å ha jobbet endel med differens. og differensialligninger lærer seg til å se. Det er ikke i utgangspunktet åpenbart at dette gir riktige løsninger, men etterhvert blir man vant til å se dette. Uansett kan du ved innsetting se at løsningene stemmer i etterkant.