Delbrøkoppspalting

[malef]

[tex]\int{\frac{\log(x)-1}{x \log(x)}dx}[/tex]

[tex]{\frac{\log(x)-1}{x \log(x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\log(x)} \\ \log(x)-1=A \log(x)+Bx \\ x=1 \ \Rightarrow \ -1=B \\ x=? \Rightarrow ?=A?[/tex]

Jeg kan vel ikke sette x=0, siden \log(0) ikke er derfinert? Hvordan finner jeg A?

[Janhaa]

splitt den opp

[tex]\int\frac{dx}{x}\,-\,\frac{dx}{x\lg(x)}[/tex]

sett u = lg(x) på siste del

[Vektormannen]

Det er ikke mulig å få til den oppspaltningen der. Delbrøkoppspaltning fungerer i utgangspunktet bare når du har en rasjonal funksjon -- dvs. en brøkfunksjon med polynomer i teller og nevner.

Hvis du skriver om integranden litt her så har du [tex]\int \frac{1}{x} \cdot \frac{\log x - 1}{\log x} \ dx[/tex]. Ser du en annen metode som kan være veldig grei å bruke da?

[malef]

Takk for hjelpen begge to! Løsningen satt likevel langt inne her i gården, men jeg tror jeg kom i mål ved hjelp av variabelskifte:

[tex]\int{\frac{\log x-1}{x \log x}dx}=\int{\frac{1}{x}\cdot \frac{\log x-1}{\log x}dx}[/tex]

Setter [tex]u=\log x[/tex] og får at [tex]dx=x du[/tex]

Da kan vi forkorte og står igjen med

[tex]\int{\frac{u-1}{u}du}=\int{\frac{u}{u}-\frac{1}{u}du}=\int{1-\frac{1}{u}du}=u-\log|u|+C[/tex]

Setter inn for u og får [tex]\log x -\log|\log x| + C[/tex]