[tex]\int{e^x \sin x}dx[/tex]
Har prøvd med delvis integrasjon. Jeg er kommet hit:
[tex]\int{e^x \sin x}dx = e^x \sin x -e^x \cos x - \int{e^x \sin x}dx[/tex]
Dette ser jo ut til å bli en evig runddans. Svaret skal bli
[tex]\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C[/tex]
Hvordan kommer man frem til det?
Integralet av e^x*sinx
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Skal spise middag, her er kortsvar varianten
Kall integralet ditt for [tex]I[/tex]
[tex]I = \int e^x \sin x \,mathrm{d}x[/tex]
Etter to delvise integrasjoner, ender du opp med
[tex]I = \text{noe} - I[/tex]
Og dette er en likning du kan løse for [tex]I[/tex]
Kall integralet ditt for [tex]I[/tex]
[tex]I = \int e^x \sin x \,mathrm{d}x[/tex]
Etter to delvise integrasjoner, ender du opp med
[tex]I = \text{noe} - I[/tex]
Og dette er en likning du kan løse for [tex]I[/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Metoden jeg foretrekker er vist under.
Fra Euler har vi at
[tex]e^{i\omega x} = \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)[/tex]
også kjent som eulers formel/ identitet. Hvor [tex]i^2 = -1[/tex].
Tar vi integralet av denne rakkeren får vi både integralet med sinus og det for cosinus! Siden
[tex]\int e^{i \omega x} e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \int \cos(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x + i \int \sin(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x[/tex]
Løser vi integralet får vi
[tex]I = \int e^{\alpha x} \cdot e^{i \omega x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \int e^{(\alpha + i \omega) x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha+i\omega} e^{\alpha x} e^{i \omega x} + \mathcal{C}[/tex]
Herfra ønsker vi å finne realdelen og imaginærdelen ( sammle alle ledd med [tex]i[/tex] og alle ledd uten [tex]i[/tex]) Trikset her er å se at
[tex] \frac{1}{\alpha+i\omega x} \cdot \frac{\alpha-i\omega x}{\alpha-i\omega x} = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2}[/tex]
Benytter vi oss av denne omskrivningen og Eulers formel får vi
[tex]I = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2} [ \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [\alpha \cos(\omega x) + \omega \sin(\omega x)]e^{\alpha x} + i \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
Altså har vi at
[tex]\int \Re(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \cos (\omega x) e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [ \omega \sin(\omega x) - \alpha \cos(\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C} [/tex]
og
[tex]\int \Im(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \sin (\omega x) e^{\alpha x} = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C[/tex]
Et helt tilsvarende resultat kan bli vist via delvis integrasjon, men det er litt mer arbeid. Utelatte litt mellomregninger og annet pirk som du kan fylle inn selv.
Dette er enda en av disse kjipe attpåklatt kommentarene, som du antakeligvis får bruk for om 1 til 2 år
Fra Euler har vi at
[tex]e^{i\omega x} = \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)[/tex]
også kjent som eulers formel/ identitet. Hvor [tex]i^2 = -1[/tex].
Tar vi integralet av denne rakkeren får vi både integralet med sinus og det for cosinus! Siden
[tex]\int e^{i \omega x} e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \int \cos(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x + i \int \sin(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x[/tex]
Løser vi integralet får vi
[tex]I = \int e^{\alpha x} \cdot e^{i \omega x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \int e^{(\alpha + i \omega) x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha+i\omega} e^{\alpha x} e^{i \omega x} + \mathcal{C}[/tex]
Herfra ønsker vi å finne realdelen og imaginærdelen ( sammle alle ledd med [tex]i[/tex] og alle ledd uten [tex]i[/tex]) Trikset her er å se at
[tex] \frac{1}{\alpha+i\omega x} \cdot \frac{\alpha-i\omega x}{\alpha-i\omega x} = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2}[/tex]
Benytter vi oss av denne omskrivningen og Eulers formel får vi
[tex]I = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2} [ \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [\alpha \cos(\omega x) + \omega \sin(\omega x)]e^{\alpha x} + i \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
Altså har vi at
[tex]\int \Re(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \cos (\omega x) e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [ \omega \sin(\omega x) - \alpha \cos(\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C} [/tex]
og
[tex]\int \Im(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \sin (\omega x) e^{\alpha x} = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C[/tex]
Et helt tilsvarende resultat kan bli vist via delvis integrasjon, men det er litt mer arbeid. Utelatte litt mellomregninger og annet pirk som du kan fylle inn selv.
Dette er enda en av disse kjipe attpåklatt kommentarene, som du antakeligvis får bruk for om 1 til 2 år
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Når du har lært deg lineær algebra, er Eksempel 2 en kjip/stilig attpåklattkommentar.