Grenseverdi

[Oppfinneren]

Hei, jeg trenger sårt hjelp med denne.

lim x->0 tan(x) - x/x^2

Har prøvd og appelere l´Hôpitals regel, men kommer ikke frem til noe fornuftig.

Noen som kan hjelpe meg på vei?

[Nebuchadnezzar]

Husk å bruke parenteser eller latex! Vanskelig å vite hva du mener, og da er det enda vanskeligere å hjelpe deg.

Sikker på at du mener

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^2} [/tex]

og ikke

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}[/tex]

?

En metode er og se at dersom [tex]|x|\ll1[/tex] så er

[tex]\tan x \approx x + \frac{1}{3}x^3[/tex]

(Rekkeutvikling/taylor) Putter du inn dette er grensa lett å regne ut.

[Oppfinneren]

Ja, det er den du har postet øverst som er rett.

Jeg har ikke vært borti rekkeutvikling/taylor, er det ikke mulig og løse med l´Hôpitals regel? Tror det er det som er intensjonen

[Nebuchadnezzar]

Ikke alle oppgaver er mulig å løse med L`hopital, problemet her er at du får en evig rundans med cosinus og sinus.

L`hopital burde blitt lært bort senere, da den ikke er en magisk kur som løser alle grenseverdier. Det burde vært et større fokus på, rekkeutviklinger, smarte omskrivninger.

EDIT

Virker som den er mulig å løse via lopital, tar to derivasjoner (noe som er mye mer slitsomt enn rekkeutvikling mao), om du lurer på noen av overgangene får du prøve litt selv, og si eksakt hvor du står fast. Bare kjedelig algebra ^^

[tex]\lim_{x \to 0} \: \frac{\tan x - x}{x^2} \: \left[\frac{0}{0}\right] \,=\, \lim_{x \to 0} \frac{(\tan x)^2}{2x} \: \left[\frac{0}{0}\right] \,=\, \lim_{x \to 0} \: \frac{\tan x + (\tan x)^3}{1} \,=\, \ldots[/tex]

[Oppfinneren]

Takk for svar

Ser at fra ledd 1 til 2 har du ikke brukt brøkregelen innenfor derivasjon ? kan du bare hoppe over den?

Den lyder jo som følger:

y = u/v

y' = u' * v - u * v' / v^2

Ser jo at om du deriverer teller og nevner hver for seg selv, får du tanx-x til og bli 1+(tanx)^2-1 = (tanx)^2 og x^2 = 2x

Ser derimot ikke hva du gjør i neste ledd, da jeg er usikker på hvordan du går frem når man deriverer (tanx)^2 , ser heller ikke hvordan 2x blir om til 1 og ikke 2

[Nebuchadnezzar]

Du burde kankje lære deg hvordan l`hôpital fungerer ? ( Ikke for å være slem, men det er litt viktig liksom)

http://www.youtube.com/watch?v=PdSzruR5OeE

http://www.youtube.com/watch?v=Haapl1SrB5I

Kortversjonen er at dersom vi har en grenseverdi på formen

[tex]\lim_{x \to a } \frac{w(x)}{v(x)} [/tex],

og vi har at

[tex]\lim_{x \to a } w(x) = \lim_{x \to a } v(x) = 0[/tex],

eller

[tex]\lim_{x \to a } w(x) = \lim_{x \to a } v(x) = \pm \infty[/tex].

Så er

[tex]\lim_{x \to a } \frac{w(x)}{v(x)} = \lim_{x \to a } \frac{w^\prime(x)}{v^\prime(x)}[/tex].

Altså vi deriverer teller og nevner hver for seg. Kvotientregelen, eller brøkregelen inngår ikke her i det hele tatt.

Derivasjon av trigonometriske verdier er og lur å kunne, ligger en haug videoer / nettsider ute. Og antar det står i boken din og.

[Oppfinneren]

takk for svar

Jeg skal se over videoene du har postet.

EDIT:

Ser nå hva du har gjort, og har forstått det

LH= lim x->0 f(x)/g(x) = lim x->0 f'(x)/g'(x)

andreleddet:

y = (tanx)^2/2x

Bruker kjerneregel oppe:

(tanx)^2 = (1+(tanx)^2)* 2tanx = 2tanx + 2(tanx)^3

faktoriserer 2tallet i teller

ender opp med [(tanx)+(tanx)^3]/1

Takk for hjelpen

[Oppfinneren]

Ender du opp med

3(tanx)^3 + (tanx)^2 + 3(tanx) + 1 = 1 ?

[Nebuchadnezzar]

Wut? Grenseverdien er null, test noen små verdier for x, eller bruk rekkeutviklingen jeg viste.

Videre så er [tex](\tan 0)^n = 0[/tex] siden [tex]sin(0) = 0[/tex] og [tex]\cos(0) = 1[/tex].

[Oppfinneren]

EDIT

Virker som den er mulig å løse via lopital, tar to derivasjoner (noe som er mye mer slitsomt enn rekkeutvikling mao), om du lurer på noen av overgangene får du prøve litt selv, og si eksakt hvor du står fast. Bare kjedelig algebra ^^

[tex]\lim_{x \to 0} \: \frac{\tan x - x}{x^2} \: \left[\frac{0}{0}\right] \,=\, \lim_{x \to 0} \frac{(\tan x)^2}{2x} \: \left[\frac{0}{0}\right] \,=\, \lim_{x \to 0} \: \frac{\tan x + (\tan x)^3}{1} \,=\, \ldots[/tex]

I neste ledd på denne fikk jeg

3(tanx)^3 + (tanx)^2 + 3(tanx) + 1

som da blir 1, mulig jeg har gjort noe feil en plass da

EDIT: beklager, er bare hodet mitt som har gått i stå, ser jo her at nevner er 1, altså L'Hopital kan ikke brukes videre

Hjertelig takk for all hjelpen