Vise at (d^2/dx^2) er en hermitesk operator

[Nova]

Hei! Jeg skal vise at $\frac{d^2}{d{x}^2}$ er en hermitesk operator. Altså at:

$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\hat{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx=(\int {\mathrm{\Psi }}_j^{\ast }\hat{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_{i}dx{)}^{\ast }$

I dette tilfellet er
$\hat{\mathrm{\Omega }}=\frac{d^2}{d{x}^2}$

Så setter inn i integralet til venstre:
$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx$

Bruker delvis integrasjon for å løse dette:
$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx={\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j-\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }dx$

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

$\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }-\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx$

Setter dette inn i totaluttrykket:

$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx={\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j-(\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }-\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx)$

$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx={\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j-\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }+\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx$

De første to leddene kan strykes mot hverandre, og vi står igjen med:
$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx=\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx=(\int {\mathrm{\Psi }}_i\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_j^{\ast }dx{)}^{\ast }$

Og så var det vel strengt talt ikke dette jeg skulle vise.. Eller? Er det noe jeg ikke ser her?

Mulig jeg har gjort noe feil i integrasjonen, men etter mange gjennomtittinger har jeg likevel ikke funnet noen.. Hjelp?

[Gustav]

Den andre gangen du bruker delvis integrasjon gjør du det "motsatt" av hva du egentlig skal gjøre slik at du går tilbake til utgangspunktet igjen.

[Gustav]

Altså her

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

$\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }-\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_{j}dx$

Det skal vel være

$\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }={\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }-\int {\mathrm{\Psi }}_j\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }dx$

For å kvitte deg med leddene som ikke er integraler må du vel sikkert bruke noen grensebetingelser. (f.eks. at bølgefunksjonene eller dens deriverte er 0 i endepunktene)

[Nova]

Hmmm.. Skjønner ikke..

Bruker denne formelen for delvis integrasjon:
$\int f\frac{dg}{dx}dx=fg-\int g\frac{df}{dx}dx$

Så i uttrykket:

$\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }$

er jo
$f=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j$ og $\frac{dg}{dx}=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }$

Videre blir det:
$\frac{df}{dx}=\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_j$ og $g={\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }$

Setter dette inn i uttrykket:
$\int \frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }=\frac{d}{dx}{\mathrm{\Psi }}_j{\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }-\int {\mathrm{\Psi }}_i^{\ast }\frac{d^2}{d{x}^2}{\mathrm{\Psi }}_j$

Hvorfor blir det ikke riktig å gjøre det sånn?

[Gustav]

Jeg sier ikke at de utregningene du har gjort er feilaktig utført. Problemet er at de ikke leder til noe annet enn det du allerede vet.

Er du enig i at dersom du skal bruke delvis integrasjon på integralet

$\int f^{,}{g}^{,}dx$, så er det 2 måter å gjøre det på:

1. $\int f^{,}{g}^{,}dx=[f^{,}g]-\int f^{,,}gdx$

2. $\int f^{,}{g}^{,}dx=[f{g}^{,}]-\int f{g}^{,,}dx$ ?

Begge disse omskrivningene er "lov".

[Nova]

Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

[Gustav]

Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

Ja

[Nova]

Takk for hjelpa!