Finne tangenten og normalen til kurven ved punktet (2,3)
x[sup]2[/sup]+xy-y[sup]2[/sup]=1
Implisitt derivasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er to måter å løse denne på:
1. Du kan algebraisk komme frem til et eksplisitt uttrykk for y, så derivere.
2. Du kan derivere over det hele med henhold til x og bruke kjerneregelen.
Da tenker vi gjerne på y som en funksjon av x, så vi får:
[tex]x^2 + xy - y^2 = 1[/tex]. Vi deriverer på begge sider med henhold til x og får:
[tex]D(x^2) + D(xy(x)) - D(y(x)^2) = D(1) = 0[/tex].
Resten kan du prøve på selv. Husk å bruke kjerneregelen.
1. Du kan algebraisk komme frem til et eksplisitt uttrykk for y, så derivere.
2. Du kan derivere over det hele med henhold til x og bruke kjerneregelen.
Da tenker vi gjerne på y som en funksjon av x, så vi får:
[tex]x^2 + xy - y^2 = 1[/tex]. Vi deriverer på begge sider med henhold til x og får:
[tex]D(x^2) + D(xy(x)) - D(y(x)^2) = D(1) = 0[/tex].
Resten kan du prøve på selv. Husk å bruke kjerneregelen.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Okey. Si at har to funksjoner [tex]f(x), g(x)[/tex]. Dersom du ønsker å derivere produktet av disse får du:
[tex]D(f(x)g(x)) = D(f(x))g(x) + f(x)D(g(x))[/tex] (produktregelen for derivasjon).
Sett nå [tex]f(x)=x[/tex] og la g(x) være den ukjente funksjonen y(x). Da finner du:
[tex]D(xy(x))[/tex] akkurat som over. Gjenta det samme for [tex]D(y(x)^2[/tex], bare at du her bruker kjerneregelen over x. Da vil du få et uttrykk som inneholder y', y og x. Løs dette for y' for å være stigningstallet i ethvert punkt gitt ved (x,y).
[tex]D(f(x)g(x)) = D(f(x))g(x) + f(x)D(g(x))[/tex] (produktregelen for derivasjon).
Sett nå [tex]f(x)=x[/tex] og la g(x) være den ukjente funksjonen y(x). Da finner du:
[tex]D(xy(x))[/tex] akkurat som over. Gjenta det samme for [tex]D(y(x)^2[/tex], bare at du her bruker kjerneregelen over x. Da vil du få et uttrykk som inneholder y', y og x. Løs dette for y' for å være stigningstallet i ethvert punkt gitt ved (x,y).
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Her er et løsningsforslag på en VELDIG lik oppgave. Se også den forrige videoen for litt mer forståelse for hva implisitt derivasjon er.
