Finne basiser til spennet og kjernen til en matrise (LU)

[Nebuchadnezzar]

Har fått oppgitt følgende matrise

[tex]A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\0 & 1 & 2 & 4 & 6 \\0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Hvor jeg blir bedt om å finne basiser til underrommene

[tex]\text{ran}(A)[/tex], [tex]\ker(A^T)[/tex] i [tex]\mathbb{R}^3[/tex] og

[tex]\ker(A)[/tex], [tex]\ran(A^T)[/tex] i [tex] \mathbb{R}^5[/tex]

Tenker så langt at rommet som spennes ut av kolonerommet til [tex]A[/tex], er vel det samme som spennet til [tex]L[/tex] (Klarer ikke helt forklare hvorfor [tex]U[/tex] ikke bidrar). Altså får en basisene

[tex](1,0,0)[/tex] og [tex](0,1,0)[/tex] (Riktig?)

for å finne kjernen til [tex]A^T[/tex], er det vel bare å bruke at denne basisen vil stå vinkelrett på basisen til [tex]\text{ran}(A)[/tex]?

Lurer og litt på hvordan det er mulig å finne en basis til [tex]\ker(A)[/tex] i [tex] \mathbb{R}^5[/tex]. Ser ikke helt hvordan.

[Gustav]

Ser du på matrisen A vil det vel være kun to kolonner som er lineært uavhengige: kolonne 2 og 4. Disse to vil vel da også utspenne ran(A).

[Gustav]

- Basis for ker(A^T) : Fra rank-nullity teoremet er dimensjonen 3-2=1. Finn en vektor i R^3 som står ortogonalt på begge basisvektorene til ran(A).

- For å finne en basis for ker(A) kan du jo f.eks løse Ax=0..

Det stemmer ikke at kolonnevektorene i L utspenner samme rom som kolonnevektorene til A. Merk også at den tredje kolonnen i L kan velges helt fritt siden den ikke bidrar i matriseproduktet..