Partiell derivasjon

[juljul]

Gitt funksjonen f(x,y) = 9xy - x^3 - y^3 -6.

Hva blir de partiell deriverte av første og andre orden? Hva blir funksjonens stasjonære punkter/punkt og hvordan klassifiseres de?

Håper noen kan hjelpe!!

[Solar Plexsus]

(1) [part][/part]f / [part][/part]x = 9y - 3x[sup]2[/sup]

(2) [part][/part]f / [part][/part]y = 9x - 3y[sup]2[/sup]

(3) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x[sup]2[/sup] = -6x

(4) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y[sup]2[/sup] = -6y

(5) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x [part][/part]y = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y [part][/part]x = 9

For å finne de stasjonære punktene, setter vi [part][/part]f / [part][/part]x = [part][/part]f / [part][/part]y = 0. Av (1) og (2) følger at x = 3y og y = 3x. Dette likningssystemet har kun løsningen x = y = 0. Så (0,0) er eneste stasjonære punkt. Vha. av (3)-(5) får vi at de partiellderiverte av 2. orden i origo er

A = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x[sup]2[/sup] = -6x = -6[sub]*[/sub]0 = 0

B = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x [part][/part]y = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y [part][/part]x = 9

C = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y[sup]2[/sup] = -6y = -6[sub]*[/sub]0 = 0

Dette medfører at

D = AC - B[sup]2[/sup] = 0[sub]*[/sub]0 - 9[sup]2[/sup] = -81.

Siden D < 0, er (0,0) ifølge andrederivasjonstesten et sadelpunkt.