Danner vektorene en basis?

[Razzy]

La [tex]\underset{p}{\rightarrow}[/tex] og [tex]\underset{q}{\rightarrow}[/tex] være basis for [tex]$${V^2}$$[/tex]

Avgjør om følgende vektorer utgjør en basis:

[tex]\underset{{v_1}}{\rightarrow}[/tex][tex]=[/tex][tex]\underset{p}{\rightarrow}[/tex][tex]+[/tex][tex]\underset{q}{\rightarrow}[/tex]

[tex]\underset{{v_2}}{\rightarrow}[/tex][tex]=[/tex][tex]\underset{-p}{\rightarrow}[/tex][tex]+[/tex][tex]\underset{q}{\rightarrow}[/tex]


Jeg tenker...



Jeg vet at hvis p og q er basisvektorer er de lineært uavhengige, og dette vil si at det er kun en løsning (a1=a2=0). - de skjærer kun ett sted, så det er kun der de har felles løsn.

Men burde ikke p og q stått normalt på hverandre? Opp i lufta?

Av skissen min ser det jo ut som de ligger i samme plan og da skal de være lineært avhengige av hverandre!!

Kunne noen gitt meg en forklaring på dette?


Jeg mener at v_1 og v_2 kan skrives som lin.kombinasjoner av basisvektorene og derfor må de være lin.avhengige av hverandre (a1=a2 [symbol:ikke_lik] 0) det er jo tydelig å se.

v_1 og v_2 danner ikke basis for dette planet, men av skissetegningen min ser det ut som de danner like mye basis som p og q?

Føler jeg behersker den analytiske delen men får ikke på plass det geometriske (får ikke tegningene til å stemme med teoriene)

[2357]

Men burde ikke p og q stått normalt på hverandre? Opp i lufta?

Alle basiser trenger ikke være ortogonale.

Av skissen min ser det jo ut som de ligger i samme plan og da skal de være lineært avhengige av hverandre!!

Nei. De er ikke parallelle. Hvorfor tror du at de ikke kan ligge i samme plan?

Jeg mener at [tex]v_1[/tex] og [tex] v_2[/tex] kan skrives som lin.kombinasjoner av basisvektorene og derfor må de være lin.avhengige av hverandre [tex](a_1 = a_2 \neq 0)[/tex] det er jo tydelig å se.

Det er ikke slik at alle lineærkombinasjoner av basisvektorene er lineært avhengige. Da hadde det ikke vært mulig å lage en ny basis, ettersom alle vektorene i den nye basisen kan skrives som lineærkombinasjoner av vektorene i den gamle basisen.

[Razzy]

Jeg leser det du skriver, men hva har du å si til de ovenfor.

Her mener jeg at så lenge a1,a2,a3, ... har forskjellige verdier for null så snakker vi lin.avhengighet?

Tolker jeg det feil?

side 6: http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... torrom.pdf

(må løpe på skolen nå)

[2357]

Altså [tex]v_1[/tex] og [tex]v_2[/tex] er lineært avhengige av p og q, men de er ikke lineært avhengige av hverandre. Se punkt 3).

[Razzy]

Ok, om de er lin.uavhengige betyr at den ene ikke kan uttrykke den andre. (man kan ikke uttrykke den ene vektoren ved å plusse eller gange med tall)

Jeg mener dette kan bevises med 2 angrepsmetoder:
(gjerne nevn hvis det er flere innlysende metoder; og gjerne vis det ved tegning, da hadde jeg vært evig takknemlig).

[tex]$${\rm I.}$$[/tex] Kanskje den mest grunnleggende: [tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} = 0$$[/tex] der vi har lineær uavhengighet kun hvis [tex]$${a_1} = {a_2} = 0$$[/tex]

Hvis disse konstantene er noe annet har vi lineær avhengighet.


[tex]$${\rm II.}$$[/tex] [tex]$${v_1}\parallel {v_2} \Leftrightarrow {v_1} = t \cdot {v_2}$$[/tex]

Hvis disse to vektorene er parallelle, betyr det at de er lin.avhengige av hverandre.


Prøver meg på metode 1:

[tex]$${\rm I.}$$[/tex] [tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} = 0$$[/tex]

[tex]$${a_1}\left( {p + q} \right) + {a_2}\left( { - p + q} \right) = 0$$[/tex]

hvordan skal jeg vise om konstantene er forkjellig fra null eller ikke?...

[Aleks855]

Med litt veldig grunnleggende lineær algebra (hovedsaklig radreduksjon, AKA Gauss-eliminasjon) er det fort gjort å undersøke lineær avhengighet.

Eksempelvis vektorene [1, 2] og [3, 5].

[tex]\begin{bmatrix}1&2 \\ 3&5 \end{bmatrix} \ \~ \ \begin{bmatrix}1&2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]

2 kolonner og rangen er 2. Lineært uavhengig!

Eller vektorene [1, 2] og [2, 4].

[tex]\begin{bmatrix}1&2 \\ 2&4 \end{bmatrix} \ \~ \ \begin{bmatrix}1&2 \\ 0&0 \end{bmatrix}[/tex]

2 kolonner, og rangen er 1. Lineært avhengig. Ingen basis.

Som sagt, dette er en veldig lettvint måte å undersøke om et vektorsett er lineært avhengig, og hvilke vektorer som kan ekskluderes fra en basis.

[Razzy]

Med litt veldig grunnleggende lineær algebra (hovedsaklig radreduksjon, AKA Gauss-eliminasjon) er det fort gjort å undersøke lineær avhengighet.

Eksempelvis vektorene [1, 2] og [3, 5].

[tex]\begin{bmatrix}1&2 \\ 3&5 \end{bmatrix} \ \~ \ \begin{bmatrix}1&2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]

2 kolonner og rangen er 2. Lineært uavhengig!

Ok, du ville valgt deg ut noen tilfeldige koordinater og brukt det som grunnlag for å besvare om vektorene danner en basis eller ikke?

Her har du inderekte sagt at [tex]$$\det \left( A \right) \ne 0$$[/tex] da den nederste raden ikke inneholder bare nuller.

Har har du brukt noe som heter fundamentalsetningen som sier at hvis rangen av matrisen er lik antall vektorer (eller ukjente ved likningssett) så har det en en-entydig løsning som betyr lin.uavhengig da [tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} = 0$$[/tex]. Konstantledd = 0 er jo alltid en løsning, spørsmålet er jo om det er den eneste.

Eller vektorene [1, 2] og [2, 4].

[tex]\begin{bmatrix}1&2 \\ 2&4 \end{bmatrix} \ \~ \ \begin{bmatrix}1&2 \\ 0&0 \end{bmatrix}[/tex]

2 kolonner, og rangen er 1. Lineært avhengig. Ingen basis.

Som sagt, dette er en veldig lettvint måte å undersøke om et vektorsett er lineært avhengig, og hvilke vektorer som kan ekskluderes fra en basis.

Ja, rang 1 er jo mindre enn vektorsøyler som betyr uendelig mange løsninger som igjen betyr at det finner fler løsninger enn bare konstantledd = 0.

[Aleks855]

Ser at jeg kanskje hoppa litt midt i, og hoppa rett på lineær avhengighetsdebatten

Men i dette tilfellet så ser vi jo helt klart at [tex]v_1, \ v_2[/tex] er lineært uavhengig, som illustrert på bildet ditt.

Av skissen min ser det jo ut som de ligger i samme plan og da skal de være lineært avhengige av hverandre!!

Nei, det er ikke slik lineær avhengighet er definert. Det at de ligger i samme plan betyr ikke noe annet enn at de kan uttrykkes som hver sin sum av basisvektorer til planet.

Som svar på oppgaven så ville jeg sagt "ja, [tex]v_1[/tex] og [tex]v_2[/tex] danner en basis for planet, siden de selv ligger i planet, og er lineært uavhengig av hverandre".

Hvis du vil regne det ut, så vil du se at du aldri vil kunne finne en k som løser systemet
[tex]k[p+q] = [-p+q][/tex] fordi vektorene (v-ene) er konjugert av hverandre, og derfor ikke parallelle.

Håper det hjalp. Ble litt rotete forklaring ser jeg

[2357]

Ok, du ville valgt deg ut noen tilfeldige koordinater og brukt det som grunnlag for å besvare om vektorene danner en basis eller ikke?

Det finnes slagkraftige resultater som sørger for at du kan oppnå det du ønsker ved å velge koordinatvektorer med hensyn på basisen {p, q}. Men det blir å fremskynde tingenes gang.

[tex]a_1(p + q) + a_2(-p + q) = (a_1 - a_2)p + (a_1 + a_2)q = 0[/tex]

Siden p og q danner en basis er de lineært uavhengige og ikke-null. Det betyr at [tex]a_1 - a_2 = 0[/tex] og [tex]a_1 + a_2 = 0[/tex] (forklar deg selv hvorfor!), men det er bare mulig når [tex]a_1 = a_2 = 0[/tex].

Aleks:

Code: Select all

[tex]\sim[/tex]

[Razzy]

Men i dette tilfellet så ser vi jo helt klart at [tex]v_1, \ v_2[/tex] er lineært uavhengig, som illustrert på bildet ditt.

Hvorfor er det helt klart?

At de er vinkelrette (ortogonale) har visst ingenting å si om de er lin.uavhengige eller ikke.

[Aleks855]

Nei, det er helt riktig. Men så lenge de ikke er parallelle, så kan de ikke være lineært avhengige.

Eksempelvis: Prøv å lag vektoren [2, 3] som en lineærkombinasjon av vektoren [1, 1]. Hvis det ikke går, så er de uavhengige. Og de er ikke ortogonale heller

[Razzy]

Nei, det er helt riktig. Men så lenge de ikke er parallelle, så kan de ikke være lineært avhengige.

Eksempelvis: Prøv å lag vektoren [2, 3] som en lineærkombinasjon av vektoren [1, 1]. Hvis det ikke går, så er de uavhengige. Og de er ikke ortogonale heller

Ok. Men vektoren [2, 3] vil alltid være lin.avhengig med basisvektorene i sitt plan?

Fikk det ikke til, men skjønner hvorfor.

Tusen takk begge to, må visst inn med hammer dette her!


EDIT: Aleks: Du skrev at; fordi vektorene (v-ene) er konjugert av hverandre, og derfor ikke parallelle. Jeg husker konjugert fra komplekse tall der jeg skifter fortegn på den im delen, og at det betyr det motsatte eller noe slikt?

Feks den konjugerte til 5 er -5. Det var bare det du mente? (ser at de ikke kan være parallelle, da kunne det ikke vært noen vinkel mellom dem)

[Aleks855]

Ok. Men vektoren [2, 3] vil alltid være lin.avhengig med basisvektorene i sitt plan?

Ja, selve definisjonen av en basis er at ALLE vektorer i det planet eller rommet skal kunne lages av lineærkombinasjoner av basisvektorene.

Eksempelvis så er jo [1,0] og [0,1] standardbasisen til [tex]R^2[/tex]. Alle vektorer i [tex]R^2[/tex] kan skrives som en lineærkomb. av disse to vektorene.

Men også verdt å nevne at et hvilket som helst annet sett av 2D vektorer som ikke er parallelle også danner en basis til [tex]R^2[/tex]. Enhetsvektorene brukes bare som "standard".

EDIT: Det jeg mente med konjugerte var at den ene vektoren er q+p, og den andre er q-p. Så veldig likt det vi mener med kompleks konjugert, altså at andre ledd skifter fortegn.

[2357]

Code: Select all

[tex]{\bb R}^2[/tex]

Eller

Code: Select all

[tex]\mathbb{R}^2[/tex]

[Aleks855]

Bare så vidt jeg gadd å skrive [tex]R^2[/tex]. Don't push it