Bevis med primtall

[skf95]

Hvordan løser jeg en slik oppgave?:

La p være et primtall og la r være et naturlig tall slik at r er mindre enn p. Vis at pCr er delelig med p

[Vektormannen]

Først og fremst må du skrive hva pCr er. Hva er definisjonen av binomialkoeffisienten?

[skf95]

Det kan jeg skrive om til følgende:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C ... r%29%21%7D

[Vektormannen]

Det stemmer. Hva betyr p! da? Får vi noe i det tallet som kan deles på p?

[skf95]

Vet jeg kan skrive p som p(p-1)(p-2)(p-3)...(1). Da ser det jo ut som om at jeg bare kan dele på p og stryke i teller og nevner. Læreren min ba meg imidlertid sette pCr lik et heltall. Og da får jeg følgende:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C ... %7D%7Bp%7D

Slik du skriver, beviser jeg at jeg kan dele på p, men ikke at det blir et heltall. Det er det jeg skal.[/i]

[Vektormannen]

Ja, du må få frem at pCr i utgangspunktet er et helt tall. Det kan du godt gjøre ved å si at f.eks. [tex]n = \frac{p!}{r!(p-r)!}[/tex], der n er et naturlig tall.

Som du sier har du nå at [tex]n = \frac{p \cdot (p-1) \cdots 1}{r!(p-r)!}[/tex]. Det du må vise er at det går an å dele n på p.

Forresten, du kan skrive latex-koder her på forumet med TEX-taggene. F.eks.

Code: Select all

[tex]n = \frac{p \cdot (p-1) \cdots 1}{r!(p-r)!}[/tex]

.

[Lord X]

[tex]{p\choose r}=\frac{p!}{r!(p-r)!}=\frac{p(p-1)\cdots(p-r+1)}{r!}[/tex]

Sidan vi veit [tex]1\leq{r}<p[/tex], kan ikkje p vere delelig med r! (sidan p er eit primtal, og alle tala 2,3,...,r er mindre enn p). Altså må resten av teljaren vere delelig med r!

Ser du nå kvifor dette impliserer at binomialkoeffisienten er delelig med p?

[skf95]

Og for å vise at n kan deles på p, så kan jeg gjøre det vi resonnerte oss fram til over?

[skf95]

Lord X

Jeg forstår ikke hvordan du kommer fram til

[tex]\frac{p\cdot (p-1)\cdot (p-r+1)}{r!}[/tex]

[Lord X]

Eg ser at eg skreiv feil(skal vere tre prikkar og ikkje ein), det skal vere:

[tex]\frac{p!}{r!(p-r)!}=\frac{p(p-1)\cdots{(p-r+1)(p-r)!}}{r!(p-r)!}[/tex]

Vi forkorter altså med (p-r)! oppe og nede.

Det eg sa ovanfor er altså at sidan

[tex]n={p\choose r}=\frac{p(p-1)\cdots(p-r+1)}{r!}[/tex]

og sidan p ikkje er delelig med nokre av tala frå 2 til r, ser vi at p ikkje kan vere delelig med r!. Men sidan vi veit at n er eit heilt tall, må derfor resten av teljaren vere delelig med r! dvs.

[tex]\frac{(p-1)(p-2)\cdots{(p-r+1)}}{r!}=k[/tex]

der k er eit heilt tal. Altså er:

[tex]\frac{n}{p}=\frac{kp}{p}=k[/tex] eit heilt tal!

[skf95]

Fantastisk! Skjønner greia. Vil nesten karakterisere løsningen som kreativ:) Likte måten du skrev om p! slik at du fikk r! som en faktor.

[Lord X]

Takker

Men eg ser at det sneik seg inn endå eit par feil (skreiv p i staden for r! to stader)

Forhåpentlegvis er det riktig nå.

[skf95]

Liker meget godt at jeg skjønte det uten at du sa det!:D