Matematikk S2: Faktorisering

[Ramjam94]

Hei!
Jeg undrer på hvordan jeg skal faktorisere denne likningen:

Faktoriser uttrykket: 2x^3-14x+12

Jeg har lært polynomdivisjon og jeg kan faktorisere med kvadratsetningen...!

Hva gjør jeg?
Takk på forhånd!

[Janhaa]

legg merke til at uttrykket er lik null for x = 1, hva kan du gjøre da?

[Ramjam94]

hvordan fant du ut av uttrykket er lik 0 når x=1??

så.... blir det (2x^3-14x+12) : (x-1)??

[Nebuchadnezzar]

Det blir riktig, men ser du at du kan faktorisere ut et to tall fra alle leddene?

For å "tippe" heltallsløsninger er det bare å teste alle tallene som er delelige på konstantleddet =)

[Ramjam94]

ja, jeg så at to var likt for alle leddene, for da fikk jeg

2(x^3-7+6)

Jeg visste ikke, og vet ikke hva jeg skal gjøre med det når jeg har kommet så langt som det over...

[Nebuchadnezzar]

Jeg kunne vist deg noen røver faktoriseringer, som kommer etter mange års meditering i tibet. Men virker ikke som om du er så keen på å lære noe nytt, så jeg sier heller se et par videoer herfra

http://udl.no/matematikk/algebra/polynomdivisjon-1-269

Får du en likning av høyere grad enn [tex]2[/tex], som du skal faktorisere er fremgangs måten rimelig enkel

1. Finn en løsning av likningen, la oss si at [tex]f(x)=0[/tex] når [tex]x=a[/tex]

2. Utfør polynomdivisjonen med [tex]f(x)/(x-a)[/tex]

3. Er graden til polynomet ditt 2? Hvis ikke gå tilbake til [tex]1[/tex].

4. Bruk ABC-formelen / andregradsformelen.

[Ramjam94]

tusen takk

[Nebuchadnezzar]

EKSTRAINFO UNDER

En kan og faktorisere likninger med røvermetoder uten å kjenne noen røtter, jeg glemmer 2-tallet for nå, fordi jeg er lat og det ser mer rotete ut

[tex]x^3 - 7x + 6[/tex]

[tex]x^3 - x - 6x + 6[/tex]

[tex]x[x^2 -1] - 6[x - 1][/tex]

[tex]x[x-1](x+1) - 6[x - 1][/tex]

Trekker ut en felles faktor [tex]x-1[/tex], på samme måte som at [tex]ab + bc = b(a+c)[/tex], gang ut og se at det stemmer om du er usikker.

[tex](x-1)[x(x+1)-6][/tex]

[tex](x-1)(x^2 + x - 6)[/tex]

Resten overlater jeg til deg, andregradspolynomet kan og faktoriseres på samme måte, men omskrivningen er litt mer vrien om du ikke har sett den før.

.........................................................................

Enda en metode er at en bare ser at [tex]x\,=\,1[/tex] er en løsning. Så etter mye erfaring og pondus antar du at [tex]x^3 - 7x + 6[/tex] kan skrives på formen

[tex]x^3 - 7x + 6 \,=\, (x-1)(a x^2 + b x + c) \,=\, a x^3 + (b-a) x^2 + (c-b)x-c [/tex]

for at uttrykkene skal være like må koeffisientene (tallene foran variablene våre) være like, dette gir oss at

[tex]a x^3 \,=\, x^3[/tex]
[tex](b-a) x^2 \,=\, 0 [/tex]
[tex](c-b)x \,=\, - 7x [/tex]
[tex]-c \,=\, 6 [/tex]

Fra første og siste likning ser vi med en gang at [tex]a=1[/tex] og [tex]c\,=\,-6[/tex]. Da står vi igjen med likningene

[tex](b-1) x^2 \,=\, 0[/tex]
[tex]-(6+b)x \,=\, - 7x[/tex]

Fra enten øverste likning eller nederste likningser vi at [tex]b\,=\,1[/tex], og da har vi funnet både [tex]a,\,b[/tex] og [tex]c[/tex] som ønsket.