Fortegnslinje for trigonometrisk funksjon

[malef]

[tex]f^{\prime}(x)=4\cos^2x+2\cos x -2[/tex]

Bruk [tex]f^{\prime}(x)[/tex] til å bestemme topp og bunnpunkter på grafen til [tex]f[/tex].

Finner at [tex]x=\frac{\pi}{3}+n \cdot 2\pi \ \vee \ x=\pi + n \cdot 2\pi \ \vee \ x=\frac{5\pi}{3}+n\cdot2\pi[/tex]. Men for å kunne bestemme hva som er topp- og hva som er bunnpunkter må jeg vel lage en fortegnslinje. Hvordan gjør jeg det?

Edit: stavefeil i tittel

[Vektormannen]

For å tegne et fortegnsskjema trenger man å faktorisere uttrykket, slik at man kan se på fortegnslinjene til hver av faktorene (som er enklere).

Ser du hvordan du kan faktorisere f'(x) her? Merk deg at uttrykket er et andregradspolynom av [tex]\cos x[/tex].

[malef]

Takk! Så langt henger jeg med, tror jeg. Faktorisert blir vel uttrykket [tex]4(\cos x +1)(\cos x - \frac{1}{2})[/tex]

[Vektormannen]

Det stemmer.

Da gjenstår det å lage fortegnslinjer. Hvis vi først ser på [tex]\cos x + 1[/tex]; hva er det minste [tex]\cos x[/tex] kan bli? Hva blir da det minste [tex]\cos x + 1[/tex] blir?

For å vurdere den andre faktoren kan det være lurt å se på enhetssirkelen. For hvilke vinkler er [tex]\cos x - \frac{1}{2}[/tex] negativ, dvs. er [tex]\cos x < \frac{1}{2}[/tex]?

[malef]

Svaret på det første sprøsmålet må vel være -1, slik at x= [symbol:pi] ?

Det andre spørsmålet vet jeg ikke om jeg oppfatter riktig. Når [tex]\cos x=\frac{1}{2}[/tex], befinner vi oss i første eller fjerde kvadrant. Vinkelen er dermed[tex] \frac{\pi}{3}[/tex] eller [tex]2\pi - \frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}[/tex]. Har jeg forstått spørsmålet ditt riktig?

[Vektormannen]

Ja, det minste cos x blir er -1. Da kan ikke [tex]\cos x + 1[/tex] bli mindre enn 0, ikke sant? Altså er den faktoren alltid 0 eller positiv. Så den eneste faktoren som kan endre fortegnet på f'(x) er [tex]\cos x - \frac{1}{2}[/tex].

Det andre spørsmålet var ikke når [tex]\cos x = \frac{1}{2}[/tex], det har du allerede funnet ut av når du løste f'(x) = 0. Du må finne ut når [tex]\cos x - \frac{1}{2}[/tex] er positiv og når den er negativ. Det er det samme som å finne ut for hvilke x [tex]\cos x > \frac{1}{2}[/tex] og [tex]\cos x < \frac{1}{2}[/tex].

Hvis vi ser i enhetssirkelen så vil fortegnet bytte i de punktene du nevner (når vi er i første omløp). Når [tex]x \in (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})[/tex] så er [tex]\cos x < \frac{1}{2}[/tex], ikke sant? Og når [tex]x \in (\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})[/tex] så er [tex]\cos x > \frac{1}{2}[/tex]. Slik fortsetter det i neste omløp osv.

Er du med på dette, og tar du resten nå?

[malef]

Dette var ikke så helt enkelt!

Jeg tegner altså enhetssirkelen med vinklene. Upresist sagt er [tex]\cos x > \frac{1}{2}[/tex] på høyre side og [tex] \cos x<\frac{1}{2}[/tex] på venstre side?

Da får vi i andre omløp at [tex]\cos x < \frac {1}{2}[/tex] når [tex]x \in (\frac{7\pi}{3},\frac{13\pi}{3})[/tex] og at [tex]\cos x > \frac{1}{2}[/tex] når [tex]x \in (\frac{13\pi}{3},\frac{15\pi}{3})[/tex]. Og da har jeg vel det jeg trenger for å tegne linjen?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Og slik vil det jo fortsette og fortsette. Da kan du se hvilke av de punktene du fant til å begynne med som er topp-punkter og hvilke som er bunnpunkter.

(Er det gitt noe intervall x skal være innenfor? I såfall ser du selvsagt bare på det aktuelle omløpet.)

[malef]

Tusen takk for hjelpen! Intervallet x skal være i, er (0,4 [symbol:pi] ). Jeg unnlot å nevne det siden det var fortegnslinjen generelt det gjaldt å få taket på. Og det tror jeg at at jeg gjorde.

[Vektormannen]

Jeg så først nå en liten feil. I andre omløp så er det i intervallet [tex](\frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3})[/tex] at [tex]\cos x < \frac{1}{2}[/tex]. Kanskje en slurvefeil?

[malef]

Der har det gått litt i surr ja. Jeg teller meg rett og slett rundt fra høyre til venstre, og da må jeg ha telt noen fingre en gang for mye. Kanskje et dumt spørsmål, men finnes det en smartere måte å gjøre det på?