Parameterframstilling for plan

[morti]

Et plan er gitt ved parmeterframstillingen [x,y,z] = [2 + 3s + 4t, -1 +s +t, 3 - 2s -2t]

a) finn to vektorer som spenner planet. [3,1,-2] og [4 , 1 , -2]
b) undersøk om f (1,-1,3) ligger i planet. ( ja det ligger i planet)
c) finn en likingsframstilling for planet


trenger hjelp med c. Kan jeg bruke kryss produktene av vektroene i a og punket i b som faktisk ligger i planet for å lage en likningsframstilling?



Får 4x + 2y -z + 1

i fasit står det 2y +z -1= 0 [/i]

[Vektormannen]

Ja, det er riktig fremgangsmåte i alle fall. Jeg vil tro du har slurvet med regningen et eller annet sted. Hva ble kryssproduktet ditt?

[morti]

Ok fant 1 fortegnsfeil i kryssproduket som nå ble [0,2,-1]

Får som svar 2y - z + 5, er enda noe feil


0(x - 1) + 2(y+1) -z+3

er vel noe feil fortegn på slutten skal vel bli z -3 eller no men vet ikke hvordan

[Janhaa]

[tex] [3,1,-2] \times [4 , 1 , -2] =[0,-2,-1][/tex]

[morti]

ser feilen nå, slurve feil som vanlig, -8 + 6 satte jeg som 2

takk for hjelpen


Så nå blir det 0(x-1) -2(y+1) -1(z -3)

blir ikke det -2y -z -1 ? z og y er enda negative...

[morti]

Trenger hjelp med denne...

[Vektormannen]

Du har nesten løst oppgaven. Du gjorde en liten slurvefeil, vi får nemlig [tex]0(x-1) - 2(y+1) - 1(z-3) = 0 \ \Leftrightarrow \ -2y - z + 1 = 0[/tex] (altså +1, ikke -1). Dette er faktisk akkurat samme ligning som i fasiten. Det ser vi hvis vi ganger med -1 på begge sider: [tex]-1(-2y - z + 1) = -1 \cdot 0 \ \Leftrightarrow \ 2y + z - 1 = 0[/tex]. Med på det?

[morti]

Hvordan går jeg motsatt vei? altså finne en parameterframstilling for et plan gitt ved en likningsframstiling,
den her f.eks
a: x+y+2z-4=0

[Vektormannen]

Et lurt triks for å gjøre det er å se på (f.eks.) y og z som parametere. For ordens skyld kan vi kalle y for s og z for t. Da har vi at [tex]x = 4 - y - 2z = 4 - s - 2t, \quad y = s, \quad z = t[/tex]. Er du med på det? (Vi kunne selvsagt valgt x og y som parametere eller x og z som parametere i stedet.)

[morti]

edit: skulle være 2z ikke 2x, hvis du ikke så det.

og ja det blir riktig det du gjorde !
fasit sier x= 4-s-2t, y= 0 +s +0t , z= 0+0s+t

[morti]

Du har nesten løst oppgaven. Du gjorde en liten slurvefeil, vi får nemlig [tex]0(x-1) - 2(y+1) - 1(z-3) = 0 \ \Leftrightarrow \ -2y - z + 1 = 0[/tex] (altså +1, ikke -1). Dette er faktisk akkurat samme ligning som i fasiten. Det ser vi hvis vi ganger med -1 på begge sider: [tex]-1(-2y - z + 1) = -1 \cdot 0 \ \Leftrightarrow \ 2y + z - 1 = 0[/tex]. Med på det?

Lurer også på hvorfor de ganger med -1 , har det noe å si iforhold til riktig svar?

[Vektormannen]

Det har ingenting å si nei. Ligningen din og ligningen til fasiten er helt ekvivalente -- de har akkurat de samme løsningene. Det betyr altså at de beskriver nøyaktig det samme planet. Da må jo den ene være like god som den andre, ikke sant? Grunnen til at de har ganget med -1 er nok for å gjøre det litt penere; noen foretrekker å ha færrest mulig negative fortegn. Når vi ganger med -1 så snur vi om på situasjonen (da blir jo - til + og + til -).

Kan også nevne at du også får fasitligningen ved å ta normalvektoren [0,2,1] i stedet for [0,-2,-1] (disse er parallelle, de peker i stikk motsatt retning av hverandre). Det kan være de som har regnet fasiten har gjort det, av samme grunn som å gange med -1 -- for å få færrest mulig negative fortegn å ha med å gjøre.