http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4145/2 ... oving9.pdf
Er et svært liknende bevis i boken, problemet mitt er at jeg er litt usikker på hvilken metrikk jeg skal bruke og detaljene. Kan jeg bruke supremum metrikken her? Forsøk på bevis under, er knabbet en god del fra boka, å bare si ifra om noe er feil eller manglerLet [tex][a,b] \subset \mathbb{R}[/tex] be closed and bounded, [tex]v\in C([a,b],\mathbb{R})[/tex], and [tex]k\in C([a,b]\times[a,b]\times\mathbb{R},\mathbb{R})[/tex]
a lipschitz-continous function such that
[tex]\begin{align} \left| k(t,\tau, x_1) - k(t,\tau,x_2) \right| \leq L \left| x_1 - x_2 \right| \quad \text{for all} \quad t, \tau \in [a,b],\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R} \qquad (1),\end{align}[/tex]
where [tex]L[/tex] is a fixed constant. Show that the nonlinear integral equation
[tex]\begin{align*}x(t) - \mu \int_a^b k(t,\tau,x(\tau)) \mathrm{d}\tau = v(t), \quad t \in [a,b], \end{align*}[/tex]
has a unique solution [tex]x \in C([a,b],\mathbb{R})[/tex] for any real constant [tex]\mu[/tex]
with [tex]|\mu| \leq 1/L(b-a)[/tex].
Se på intervallet [tex]U = [a,b][/tex] for alle kontinuerlige, lipschitz funksjoner med metrikk
[tex] d(x,y) =\max_{t \in U} \left| x(t,x_1) - y(t,x_2) \right| [/tex]
videre så er rommet av alle begrensede, kontinuerlige funksjoner på et lukket området komplett. Siden funksjonen er lipschitz, finnes det [tex]L[/tex] slik at
[tex]\begin{align*} \left| k(t,\tau, x_1) - k(t,\tau,x_2) \right| \leq L \left| x_1 - x_2 \right| \quad \text{for all} \quad t, \tau \in [a,b],\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R},\end{align*}[/tex]
Og (1) kan skrives som
[tex]x = Tx[/tex] hvor
[tex] T x(t) = v(t) + \mu \int_a^b k(t,\tau)x(\tau) \mathrm{d}\tau[/tex]
Siden både [tex]v[/tex] og [tex]k[/tex] er kontinuerlige så definererer
forrige likning en operator T fra [tex]C[a,b][/tex] til [tex]C[a,b][/tex].
For at vi kan bruke Banach's fikspunkt teorem, må vi finne en [tex]\mu[/tex] slik at [tex]T[/tex] blir en konstraksjon (contraction, hva heter dette på norsk?)
Altså får vi
[tex] \begin{array*}{ll} d(Tx,Ty) & = \max_{t \in U} \left| Tx(t,x_1) - Ty(t,x_2) \right| \\ & = \|\mu\| \max_{t \in U} \left| \int_a^b k(t,\tau)\left[ x(\tau) - y(\tau) \right]\mathrm{d}\tau \right| \\& \leq \max_{t \in U} \int_a^b |k(t,\tau)||x(\tau,x_1) - y(\tau,x_1)| \\ & \leq L \max_{t \in U}|x_1 - x_2| \int_a^b \mathrm{d}\tau \\ & = \|\mu\| L d(x,y)(b-a) \end{array*}[/tex]
hvor I andre linje benyttet jeg meg bare av definisjonen av [tex]Tx[/tex] og i tredje linje benyttet jeg med av at funksjonen er lipschitz.
Da har vi altså finnet at
[tex] d(Tx,Ty) \leq \beta d(x,y) [/tex]
hvor [tex]\beta = \|\mu|c(b-a) [/tex]
Altså blir [tex]T[/tex] en konstraksjons når [tex]\beta < 1[/tex] noe som skjer når
[tex]\|\mu\| < \frac{1}{L(b-a)}[/tex].
Siden C[a,b] er komplett og [tex]T: C[a,b] \longrightarrow C[a,b][/tex]
er en kontraksjon på [tex]C[a,b][/tex] så har [tex]T[/tex] nøyaktig en løsning. Dette kommer fra Banach's fikspunkt teorem.
Ser dette beviset noen lunde riktig ut?
