Grenseverdi

[Kork]

Jeg syns denne oppgaven var litt absurd, noen som har noen lure ideer? Trenger jeg bruke den formelle definisjonen(epsilon delta)?

[Andreas345]

Det må du nok. Begynn med å anta at [tex]L\not{=}M[/tex]

[Vektormannen]

Du vet at disse to grensene eksisterer. Da vet du at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]\delta_1 > 0[/tex] og en [tex]\delta_2 > 0[/tex] slik at [tex]a - \delta_1 < x < a \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex] og [tex]a - \delta_2 < x < a \ \Rightarrow \ |f(x) - M| < \epsilon[/tex]. Lar du [tex]\delta = \min \{\delta_1, \delta_2\}[/tex] så har du da at [tex]a - \delta < x < a \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon \ \wedge \ |f(x) - M| < \epsilon[/tex].

Nå kan det være lurt å se på de to ulikhetene sammen. Er du med på at hvis begge deler holder så må [tex]|f(x) - L| + |f(x) - M| < 2\epsilon[/tex]? Hvis du tar utgangspunkt i dette kan du arbeide deg frem til en selvmotsigelse. På veien vil du mest sannsynlig få bruk for trekantulikheten, samt at [tex]|a-b| = |b-a|[/tex].

EDIT: fikset til venstre-grenser

[Kork]

Når jeg kommer frem til en selvmotsigelse så må det være fordi minst en av utgangspunktene er feil, men hvilken er det her da?

[rage]Dette går 3 kilometer over hodet på meg, og sikkert 95% av alle andre som tar kurset![/rage]

[Vektormannen]

Den eneste antagelsen som gjøres er at [tex]L \neq M[/tex]. Resten kommer fra ting som er sant (vi er gitt at de to grensene eksisterer.)

Hva ender du opp med når du ser på ulikheten [tex]|f(x) - L| + |f(x) - M| < 2\epsilon[/tex]? Du kan ende opp med en ulikhet som det er ganske lett å se at ikke kan stemme for alle [tex]\epsilon[/tex].

Angående ragen: Epsilon-delta er det de fleste studenter sliter aller mest med når de begynner på universitetsmatten Du er ikke alene, og det pleier å gå seg til når du får fordøyd det litt.

[Lord X]

Du trenger vel strengt tatt ikkje å bevise det ved motsigelse her, du har uansett (som Vektormann seier/hinter til):

[tex]|L-M|=|L-f(x)+f(x)-M|\leq{|L-f(x)|+|f(x)-M|}<\epsilon+\epsilon=2\epsilon[/tex] så lenge [tex]x\in{(a-\delta,a)}[/tex]

Altså må [tex]|L-M|[/tex] vere mindre enn alle positive tal, og derfor må vi har [tex]|L-M|=0[/tex], som igjen impliserer at L=M.

[Vektormannen]

Et slikt direkte bevis er penere ja. (Vi skulle hatt en spoiler-tag, sånn i tilfelle noen vil prøve selv først.)

[Kork]

Jeg syns svaret mitt ser ganske bra ut nå, noe jeg burde endre på? Takk for hjelpen begge to!

[Vektormannen]

Syns dette ser bra ut.