Hei, jeg prøver å gjøre en oppgave og får det ikke til.
Oppgave 2.155, i R2 Sigma boken.
I en Pyramide ABCDT er grunnflata ABCD et kvadrat med siden lik4. Sidekantene CT står vinkelrett på grunnflata og har lengeden 2 [symbol:rot]6.
Skjeringspunktet mellom diagonalene i grunnflata kaller vi H.
a) Regn ut vinkelen mellom sidekanten AT og grunnflata. Vis at Vinkel CHT = 60grader.
Vi plasserer pyramiden i et koordinatsystem med A i origo (0,0,0) og slik at B får kordinatene (4,0,0), mens D får (0,4,0).
b) Finn koordinatene til C og T.
c) Vis at planet alfa gjennom B,D og T har likningen 3x+3y- [symbol:rot]6z - 12=0
d) Hvor stor blir vinkelen mellom alfa og xy-planet?
En linje n går gjennom C og står vinkelrett på alfa.
e) Sett opp en parameterframstilling for n.
f) Linja n skjærer alfa i F. Finn koordinatene til F.
g) Sett opp likningene for de to planene som går gjennom BD og danner 60grader med alfa.
Løsnings fasit:
a) 40,9grader
b) C (4,4,0), T(4,4,2 [symbol:rot]6)
c) ----------
d) 60grader.
e for eksempel: N: [x=4+3t]
[y=4+4t]
[z=-[symbol:rot]6*t]
f) F( 5/2,5/2, [symbol:rot]6/2)
g= z=0 og 3x+3y+ [symbol:rot]6z - 12=0.
Vet ikke hva det er, men får bare ikke til noe idag.
Hadde satt stor pris på mye hjelp her.
Trenger hjelp! Innlevering!
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
For en tilfeldighet. Jeg har nettopp i dag jobbet med denne oppgaven på skolen.
a) Se på figuren nøye. Vinkelen mellom AT og grunnflata = vinkel CAT. Du kan finne AC og du kjenner CT. Du kan videre bruke tangens for å finne vinkel.
Når det gjelder vinkel CHT så gjøres det på samme måte som CAT men finn HC først og bruk tangens.
b) [tex]\vec{BC}=\vec{AD}[/tex]. Da har du [tex]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}[/tex]. Siden A er origo vil AC vektor gi deg C koordinatene.
Siden CT vektor står vinkelrett på grunnflata må T har samme x og y koordinatene som C. T(4,4,z). Siden lengden av [tex]CT=2sqrt{6}[/tex] og CT er parallell med z-aksen må T være [tex](4,4,2sqrt{6})[/tex]
c) [tex]\vec{n}=\vec{BD}x\vec{BT}=[8sqrt{6},8sqrt{6},-16][/tex] som kan skrives som [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex]
Da har du normalvektor og f.eks punkt B som ligger i planet.
d) Det er den samme vinkelen vi fant i a). Nemlig vinkel CHT=60grader. Alternativt kunne du finne vinkel ved å finne vinkel mellom [tex]\vec{n} og \vec{nxy}[/tex]. Altså [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex] og [tex][0,0,1][/tex]
e)Siden den står vinkelrett på planet har den retningsvektor som er lik normalvektoren til planet. Da har du retningsvektor og et punkt på linje.
f) Bare å sette x,y og z verdiene for linjen inni likningsfremstillingen for planet. Da får du en t-verdi som du kan bruke for å finne punktet.
g) Jeg hadde litt dårlig med tid på skolen, så ble ikke helt ferdig. Muligens jeg trenger selv litt hjelp her. Jeg ser f.eks ut fra figuren at xy-planet passer med de krevene. Nemlig den går jo gjennom BD og danner 60 grader med planet [tex]\alpha[/tex]. Så z=0 må være en av de to planene.
Videre tenkt jeg å finne først koordinatene til H. [tex]H(2,2,0)[/tex] og da er [tex]|\vec{AH}|=sqrt{8}[/tex]. La meg kalle skjæringspunktet mellom z-aksen og det nye planet for M. Da blir vinkel HAM=60 grader hvor [tex]HA=sqrt{8}[/tex]. Bruker tangens og finner at [tex]AM=2sqrt{6}[/tex]. Da må M være [tex](0,0,\pm2sqrt{6})[/tex]. Da har jeg at normalvektor til det nye planet er lik [tex]\vec{HM}x\vec{HB}[/tex]. Har ikke regnet videre men kan noen bekrefte om jeg tenker riktig eller feil?
a) Se på figuren nøye. Vinkelen mellom AT og grunnflata = vinkel CAT. Du kan finne AC og du kjenner CT. Du kan videre bruke tangens for å finne vinkel.
Når det gjelder vinkel CHT så gjøres det på samme måte som CAT men finn HC først og bruk tangens.
b) [tex]\vec{BC}=\vec{AD}[/tex]. Da har du [tex]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}[/tex]. Siden A er origo vil AC vektor gi deg C koordinatene.
Siden CT vektor står vinkelrett på grunnflata må T har samme x og y koordinatene som C. T(4,4,z). Siden lengden av [tex]CT=2sqrt{6}[/tex] og CT er parallell med z-aksen må T være [tex](4,4,2sqrt{6})[/tex]
c) [tex]\vec{n}=\vec{BD}x\vec{BT}=[8sqrt{6},8sqrt{6},-16][/tex] som kan skrives som [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex]
Da har du normalvektor og f.eks punkt B som ligger i planet.
d) Det er den samme vinkelen vi fant i a). Nemlig vinkel CHT=60grader. Alternativt kunne du finne vinkel ved å finne vinkel mellom [tex]\vec{n} og \vec{nxy}[/tex]. Altså [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex] og [tex][0,0,1][/tex]
e)Siden den står vinkelrett på planet har den retningsvektor som er lik normalvektoren til planet. Da har du retningsvektor og et punkt på linje.
f) Bare å sette x,y og z verdiene for linjen inni likningsfremstillingen for planet. Da får du en t-verdi som du kan bruke for å finne punktet.
g) Jeg hadde litt dårlig med tid på skolen, så ble ikke helt ferdig. Muligens jeg trenger selv litt hjelp her. Jeg ser f.eks ut fra figuren at xy-planet passer med de krevene. Nemlig den går jo gjennom BD og danner 60 grader med planet [tex]\alpha[/tex]. Så z=0 må være en av de to planene.
Videre tenkt jeg å finne først koordinatene til H. [tex]H(2,2,0)[/tex] og da er [tex]|\vec{AH}|=sqrt{8}[/tex]. La meg kalle skjæringspunktet mellom z-aksen og det nye planet for M. Da blir vinkel HAM=60 grader hvor [tex]HA=sqrt{8}[/tex]. Bruker tangens og finner at [tex]AM=2sqrt{6}[/tex]. Da må M være [tex](0,0,\pm2sqrt{6})[/tex]. Da har jeg at normalvektor til det nye planet er lik [tex]\vec{HM}x\vec{HB}[/tex]. Har ikke regnet videre men kan noen bekrefte om jeg tenker riktig eller feil?
Flink student som faktisk gjør noe i timene vel og merkeNibiru wrote:For en tilfeldighet. Jeg har nettopp i dag jobbet med denne oppgaven på skolen.
a) Se på figuren nøye. Vinkelen mellom AT og grunnflata = vinkel CAT. Du kan finne AC og du kjenner CT. Du kan videre bruke tangens for å finne vinkel.
Når det gjelder vinkel CHT så gjøres det på samme måte som CAT men finn HC først og bruk tangens.
b) [tex]\vec{BC}=\vec{AD}[/tex]. Da har du [tex]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}[/tex]. Siden A er origo vil AC vektor gi deg C koordinatene.
Siden CT vektor står vinkelrett på grunnflata må T har samme x og y koordinatene som C. T(4,4,z). Siden lengden av [tex]CT=2sqrt{6}[/tex] og CT er parallell med z-aksen må T være [tex](4,4,2sqrt{6})[/tex]
c) [tex]\vec{n}=\vec{BD}x\vec{BT}=[8sqrt{6},8sqrt{6},-16][/tex] som kan skrives som [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex]
Da har du normalvektor og f.eks punkt B som ligger i planet.
d) Det er den samme vinkelen vi fant i a). Nemlig vinkel CHT=60grader. Alternativt kunne du finne vinkel ved å finne vinkel mellom [tex]\vec{n} og \vec{nxy}[/tex]. Altså [tex][3,3,-sqrt{6}][/tex] og [tex][0,0,1][/tex]
e)Siden den står vinkelrett på planet har den retningsvektor som er lik normalvektoren til planet. Da har du retningsvektor og et punkt på linje.
f) Bare å sette x,y og z verdiene for linjen inni likningsfremstillingen for planet. Da får du en t-verdi som du kan bruke for å finne punktet.
g) Jeg hadde litt dårlig med tid på skolen, så ble ikke helt ferdig. Muligens jeg trenger selv litt hjelp her. Jeg ser f.eks ut fra figuren at xy-planet passer med de krevene. Nemlig den går jo gjennom BD og danner 60 grader med planet [tex]\alpha[/tex]. Så z=0 må være en av de to planene.
Videre tenkt jeg å finne først koordinatene til H. [tex]H(2,2,0)[/tex] og da er [tex]|\vec{AH}|=sqrt{8}[/tex]. La meg kalle skjæringspunktet mellom z-aksen og det nye planet for M. Da blir vinkel HAM=60 grader hvor [tex]HA=sqrt{8}[/tex]. Bruker tangens og finner at [tex]AM=2sqrt{6}[/tex]. Da må M være [tex](0,0,\pm2sqrt{6})[/tex]. Da har jeg at normalvektor til det nye planet er lik [tex]\vec{HM}x\vec{HB}[/tex]. Har ikke regnet videre men kan noen bekrefte om jeg tenker riktig eller feil?
