Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Gitt en mengde A med m elementer, kan man si med en gang hvor mange relasjoner det finnes på mengden? Og hva med ekvivalensrelasjoner?
Når det gjelder antall relasjoner så ser jeg for meg at for hvert element x i A, så kan det mappes til m andre elementer. Men det virker litt rart at det blir [tex]m^m[/tex] relasjoner?
Og hvis vi innfører en ny mengde B med n elementer, kan vi si hvor mange relasjoner det finnes fra B til A, eller A til B?
Her tenker jeg at for hvert element x i A, så kan det mappes til n elementer i B. Dette gir [tex]n^m[/tex] for A til B og [tex]m^n[/tex] for B til A. Tenker jeg feil her?
Antall binære relasjoner på en mengde [tex]A=\{a_i\}_{i=1}^m[/tex] blir vel [tex]2^{m^2}[/tex] ? Se for deg en [tex]m\times m[/tex] matrise der hver entry er enten 0 eller 1 avhengig av om det fins en relasjon mellom [tex]a_i[/tex] og [tex]a_j[/tex]. F.eks. dersom [tex]a_1Ra_2[/tex] så er elementet i rad 1 kolonne 2 lik 1.
En generell relasjon behøver ikke være hverken symmetrisk, refleksiv eller transitiv, så hvert element i matrisa er uavhengig og kan enten være 0 eller 1. Siden det er [tex]m^2[/tex] elementer i matrisa kan det være [tex]2^{m^2}[/tex] ulike relasjoner på mengden [tex]A[/tex].
For ekvivalensrelasjoner blir naturligvis enkelte elementer avhengige av hverandre, og antallet mulige relasjoner færre.
