Let [tex]M[/tex] be a non-empty closed and convex set in a Hilbert space. Show that [tex]M[/tex] contains a unique vector [tex]x_{\text{min}}[/tex] of smallest norm, and that
[tex]\text{Re}\langle x_{\text{min}}\, , x - x_{\text{min}}\rangle \leq 0 \quad \forall \quad x \in M[/tex]
En illustrasjon av problemet er her
For å vise at det finnes en slik unik vektor velger jeg å benytte meg av et theorem utedet i forelesning og gjengitt her.
https://wiki.math.ntnu.no/users/ehrnstr ... ce_theorem
Da gjenstår det bare å vise at realdelen er mindre enn null. Studass sa at en burde begynne å se på følgende ulikhet
[tex]\|x_{\text{min}} + t (x - x_{\text{min}) \|^2 \geq \|x_{\text{min}}\|^2[/tex]
Ulikheten sier at normen til enhver vektor som befinner seg mellom [tex]x[/tex] og [tex]x_{\text{min}}[/tex] alltid vil være like stor som eller større enn normen til [tex]x_{\text{min}}[/tex]. Dette gir mening både fra figur, og det faktum av at [tex]\|x_{\text{min}}\|[/tex] er per definisjon den minste vektoren til et punkt som ligger i [tex]M[/tex]. Siden [tex]M[/tex] er konveks så vil alle punkter mellom [tex]x[/tex]. og [tex]x_{\text{min}}[/tex] følgelig og ligge i [tex]M[/tex]. Skriver jeg ut ulikheten får jeg
[tex]|| x_{\text{min}} \,+\, t (x - x_{\text{min}}) ||^2 \,\geq\, || x_{\text{min}}||^2[/tex]
[tex]||x_{\text{min}} ||^2 \,+\, 2 \text{Re} \langle x_{\text{min}} \,,\,t (x - x_{\text{min}})\rangle \,+\, || t(x-x_{\text{min}}) ||^2 \, \geq \, ||x_{\text{min}}||^2 [/tex]
[tex] 2 t \text{Re} \langle x_{\text{min}} \,,\,x - x_{\text{min}} \rangle \, + \, t^2|| x - x_{\text{min}} ||^2 \,\geq\, 0 [/tex]
[tex] \text{Re} \langle x_{\text{min}} \,,\,x - x_{\text{min}} \rangle \,\geq\, - \frac{t}{2} || x - x_{\text{min}} ||^2 [/tex]
Hva gjør jeg så? Dette var jo ikke det jeg ville vise?... Og jeg dropper absoluttverdiene på [tex]t[/tex] siden [tex]t \in(0,1][/tex]
