Hei. Jeg sliter litt med å forstå prinsippet bak trigonometriske ulikheter. Jeg vil gjerne forstå det hele systemet, altså fremgangsmåten. I boka mi så står det ingenting om slike ulikheter. Så hvordan skal jeg gå fram for å løse trig.ulikheter? Skal jeg prøve å finne løsninger ved å tegne enhetssirkelen eller skal jeg gå veien gjennom fortegnslinje? Har er det par eksempler:
1) [tex]tanx(tanx+1)<0[/tex]. Jeg har prøvd å tegne fortegnslinje og fant at [tex]x\in<\frac{3\pi}{4},\pi>[/tex] [tex]U[/tex] [tex]<\frac{7\pi}{4},\p>[/tex]. Men her skjønt jeg ikke helt hvordan skal jeg tegne fortegnslinje for [tex]tanx+1[/tex]. Er det noen enkel metode som kan brukes her? (Som for eksempel hvis jeg tegner fortegnslinje for -x+2 blir det først __________(+) og etterpå ---------------(-) siden her står det - foran x.)
2)[tex]sinx\ge{tanx}[/tex]. Jeg faktoriserer og får [tex]sinx(cosx-1)\ge{0}[/tex]. Her får jeg [tex]x\in[\pi,2\pi][/tex] som ikke stemmer med fasiten.
Kan geogebra(med CAS)/ClassPad/wxMaxima løse trigonometriske ulikheter?
Trigonometriske ulikheter
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Husk at [tex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/tex] Dette kan gjøre det lettere å faktorisere.
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Du sier enhetssirkel eller fortegnslinje, men de to er ikke forskjellige hjelpemiddel til den samme tingen!
Fortegnslinjer lager vi for å få en oversikt over hvordan de forskjellige faktorene i et produkt påvirker fortegnet for hele produktet. Enhetssirkelen bruker vi for å avgjøre hvordan trigonometriske funksjoner oppfører seg (f.eks. for hvilke x de er positive, negative, størst, minst).
Det ser ut som du har laget en fortegnslinje for tan x, så jeg antar at den er grei. Vi kan da se på tan x + 1. Denne er vanskeligere å vurdere. Vi begynner med å finne nullpunktene. Det gir [tex]x = -\frac{3\pi}{4} + k \pi[/tex], fra enhetssirkelen. I tillegg har vi også bruddpunkt når [tex]x = \frac{\pi}{2} + k \pi[/tex] (hvorfor?). Mellom de null- og bruddpunktene må vi så vurdere fortegnet. Da må vi bruke litt av det vi vet om tangensfunksjonen. Vi kan f.eks. se på intervallet [tex](-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})[/tex]. tan x + 1 er en kontinuerlig funksjon og har verken null- eller bruddpunkt på det intervallet, så fortegnet må være det samme på hele intervallet. Når x > 0 vet vi i tillegg at tan x er positiv. Da må altså fortegnet på dette intervallet totalt sett være positivt.
Så kan vi gå videre og se på [tex](\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})[/tex]. Her har tan x en vertikal asymptote, så når x er nærme [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] vil tan x være et veldig lite (stort negativt) tall. Da spiller det ingen rolle om vi legger på 1, så på dette intervallet må tan x + 1 være negativ. Slik kan vi fortsette å argumentere for de neste intervallene. Nå vet jeg ikke hvor om x er begrenset til noe intervall i oppgaven din, men når du har tatt én runde så vil jo dette gjenta seg i de neste og forgående omløpene i enhetssirkelen.
Fortegnslinjer lager vi for å få en oversikt over hvordan de forskjellige faktorene i et produkt påvirker fortegnet for hele produktet. Enhetssirkelen bruker vi for å avgjøre hvordan trigonometriske funksjoner oppfører seg (f.eks. for hvilke x de er positive, negative, størst, minst).
Det ser ut som du har laget en fortegnslinje for tan x, så jeg antar at den er grei. Vi kan da se på tan x + 1. Denne er vanskeligere å vurdere. Vi begynner med å finne nullpunktene. Det gir [tex]x = -\frac{3\pi}{4} + k \pi[/tex], fra enhetssirkelen. I tillegg har vi også bruddpunkt når [tex]x = \frac{\pi}{2} + k \pi[/tex] (hvorfor?). Mellom de null- og bruddpunktene må vi så vurdere fortegnet. Da må vi bruke litt av det vi vet om tangensfunksjonen. Vi kan f.eks. se på intervallet [tex](-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})[/tex]. tan x + 1 er en kontinuerlig funksjon og har verken null- eller bruddpunkt på det intervallet, så fortegnet må være det samme på hele intervallet. Når x > 0 vet vi i tillegg at tan x er positiv. Da må altså fortegnet på dette intervallet totalt sett være positivt.
Så kan vi gå videre og se på [tex](\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})[/tex]. Her har tan x en vertikal asymptote, så når x er nærme [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] vil tan x være et veldig lite (stort negativt) tall. Da spiller det ingen rolle om vi legger på 1, så på dette intervallet må tan x + 1 være negativ. Slik kan vi fortsette å argumentere for de neste intervallene. Nå vet jeg ikke hvor om x er begrenset til noe intervall i oppgaven din, men når du har tatt én runde så vil jo dette gjenta seg i de neste og forgående omløpene i enhetssirkelen.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Tusen takk for forklaringen. Jeg tror jeg har forstått det. Jeg har glemt å si at løsningsintervallet er [tex][0,2\pi>[/tex].Men fortsett skjønner ikke hvorfor får feil svar på 2).
Fortegnslinje for sinx er __________( [symbol:pi] )------------------
og cosx-1 er bare negativ i intervallet 0,2 [symbol:pi]. Da får jeg som svar [tex]x\in[{\pi,2\pi}>[/tex]. Mens fasiten sier [tex]L={0}U<\frac{\pi}{2},\pi]U<\frac{3\pi}{2},2\pi>[/tex].
Fortegnslinje for sinx er __________( [symbol:pi] )------------------
og cosx-1 er bare negativ i intervallet 0,2 [symbol:pi]. Da får jeg som svar [tex]x\in[{\pi,2\pi}>[/tex]. Mens fasiten sier [tex]L={0}U<\frac{\pi}{2},\pi]U<\frac{3\pi}{2},2\pi>[/tex].
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
På 2) går det galt fordi du har faktorisert feil (ufullstendig).
[tex]\sin x \geq \tan x \ \Leftrightarrow \ \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \geq 0 \ \Leftrightarrow \ \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x} \geq 0[/tex].
Det ser ut som du kanskje har glemt nevneren (cos x) du får her? Tar du den med i skjemaet ditt så ser du nok at ting endrer seg.
[tex]\sin x \geq \tan x \ \Leftrightarrow \ \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \geq 0 \ \Leftrightarrow \ \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x} \geq 0[/tex].
Det ser ut som du kanskje har glemt nevneren (cos x) du får her? Tar du den med i skjemaet ditt så ser du nok at ting endrer seg.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Husk at hvis en ulikhet ganges med noe negativt så må du snu ulikhetstegnet (hvorfor?) Når du ganger med cos x her, så vil den ulikheten du ender opp med bare gjelde for de x der cos x > 0. Det er i og for seg ikke galt, men da må du huske på at for de x som gjør at cos x < 0 så får du ulikheten [tex]\sin x (\cos x - 1) \leq 0[/tex]. Resultatet blir at du må løse to separate ulikheter. Gjør du det på en måte som unngår å gange med noe som kan være negativt, slipper du det!
Elektronikk @ NTNU | nesizer